八年级数学下册 第18章 平行四边形 18.2 平行四边形的判定第2课时课件 （新版）华东师大版

18.2平行四边形的判定第2课时1.熟记平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.(重点)2.能根据平行四边形的判定定理3，判定一个四边形是否是平行四边形.(重点)3.综合应用平行四边形的性质和判定定理解决几何问题.(重点、难点)一、平行四边形的判定定理3如图，先将AC，BD的中点重合并钉好，然后再将另外四条木棒钉好.【思考】(1)图中△AOB与△COD全等吗？△AOD和△COB呢？提示：∵点O分别是AC，BD的中点，∴AO=CO，BO=DO，又∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD(S.A.S.)，同理△AOD≌△COB.(2)AB与CD，AD与BC有何位置关系？为什么？提示：由问题(1)知，△AOB≌△COD，∴∠BAO=∠DCO，∴由内错角相等，两直线平行，得AB∥CD，同理AD∥BC.(3)根据(2)可以得四边形ABCD是什么四边形？提示：由问题(2)知AB∥CD，BC∥DA，由平行四边形的定义得四边形ABCD是平行四边形.【总结】判定定理3：对角线_________的四边形是平行四边形.二、平行四边形的其他判定方法两组对角_________的四边形是平行四边形.互相平分分别相等(打“√”或“×”)(1)对角线互相垂直的四边形是平行四边形.()(2)四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，且AO=CO，则四边形ABCD是平行四边形.()(3)对角线相等的四边形是平行四边形.()(4)两组角相等的四边形是平行四边形.()××××知识点1从对角线的角度判定平行四边形【例1】已知如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.【解题探究】(1)若利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形BFDE是平行四边形，需要作辅助线：连结BD交EF于点O.(2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=___，BO=___.因为AE=CF，所以AO-AE=CO-___，所以___=___.又BO=___，所以四边形BFDE是平行四边形.CODOCFEOFODO【总结提升】判定平行四边形的方法选择已知条件证明思路一组对边相等1.另一组对边也相等2.相等的边也平行一组对边平行1.另一组对边也平行2.平行的边也相等一组对角相等另一组对角也相等对角线相交对角线互相平分知识点2平行四边形的性质与判定的综合应用【例2】(2012·沈阳中考)已知，如图，在平行四边形ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连结EF，分别交AB，CD于点M，N，连结DM，BN.(1)求证：△AEM≌△CFN.(2)求证：四边形BMDN是平行四边形.【思路点拨】(1)□ABCD→AD∥BC，∠DAB=∠BCD，∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，AE=CF→△AEM≌△CFN.(2)□ABCD→AB∥CD，AB=CD→BM∥DN，BM=DN→结论.【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD，∴∠EAM=∠FCN，∵AD∥BC，∴∠E=∠F，∵AE=CF，∴△AEM≌△CFN.(2)由(1)得AM=CN，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴BM∥DN，BM=DN，∴四边形BMDN是平行四边形.【总结提升】平行四边形性质与判定的应用(1)利用平行四边形的性质与判定可解决以下问题：①求线段的长，证明线段相等或平行，证明线段的倍分关系.②求角的度数，证明角相等或互补等.(2)利用平行四边形的性质与判定解决问题时，有时需要先证一个四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质去解题.题组一：从对角线的角度判定平行四边形1.(2013·泸州中考)四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是()A.AB∥DC，AD∥BCB.AB=DC，AD=BCC.AO=CO，BO=DOD.AB∥DC，AD=BC【解析】选D.A中两组对边分别平行，则该四边形是平行四边形，A正确；B中两组对边分别相等，则该四边形是平行四边形，B正确.C中对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，C正确；D中四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，不能判定该四边形是平行四边形，D错误.2.四边形ABCD，AC与BD相交于点O，如果给出条件AB∥CD，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，以下说法正确的是()①如果再加上条件BC=AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件AO=CO，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件∠DBA=∠CAB，那么四边形ABCD一定是平行四边形.A.①B.①②③C.②D.②③【解析】选C.①不一定是平行四边形.②可判定△ABO≌△CDO，就有AB=CD，故可判定为平行四边形，正确.③不一定是平行四边形.3.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O.若AC=6，则线段AO的长度等于.【解析】因为AB∥CD，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形，∴AO=AC=3.答案：3124.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，BO=DO.求证：四边形ABCD是平行四边形.【证明】∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠DCO.又∵BO=DO，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.5.已知：如图，平行四边形ABCD中，M，N分别是CD，AB上的点，E，F是AC上两点，若CM=AN，AE=CF，试说明：四边形MENF是平行四边形.【解析】如图，在平行四边形ABCD中，CD∥AB，所以∠1=∠2.在△CMF和△ANE中，CM=AN，∠1=∠2，CF=AE，所以△CMF≌△ANE，所以MF=NE，∠MFC=∠NEA，所以∠MFE=∠NEF，所以MF∥NE.又因为MF=NE，所以四边形MENF是平行四边形.【一题多解】如图，连结MN交AC于O，连结AM，CN.在平行四边形ABCD中，DC∥AB.因为CM=AN，所以四边形AMCN是平行四边形，所以OM=ON，OA=OC.因为AE=CF，所以OA-AE=OC-CF，即OE=OF.又因为OM=ON，所以四边形MENF是平行四边形.题组二：平行四边形的性质与判定的综合应用1.如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O.下列结论中，不一定成立的是()A.AC=DEB.AB=ACC.AD=ECD.OA=OE【解析】选B.∵EC∥AB，DE∥BC，∴四边形BDEC是平行四边形，∴BD=CE，∠B=∠E.又∵∠ABC=∠BAC，∴∠CEO=∠DAO.又∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴AD=CE，∴△AOD≌△COE，∴OA=OE.∵BC=DE，BC=AC，∴AC=DE.而AB=AC无法证得.2.四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件(只需填上一个你认为正确的即可).【解析】由AD∥BC，可以添加条件AD=BC或AB∥CD或∠A=∠C可以使四边形ABCD为平行四边形.答案：AD=BC(或AB∥CD或∠A=∠C)3.如图，在□ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且BE∥DF，若∠EBF=45°，则∠EDF的度数是度.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.又∵BE∥DF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴∠EDF=∠EBF=45°.答案：454.已知：如图，在□ABCD中，点E在AD上，连结BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N.求证：四边形MFNE是平行四边形.【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC.又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形.∴DE=BF.∴AD-DE=BC-BF，即AE=CF.又∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形.∴MF∥NE，∴四边形MFNE是平行四边形.【想一想错在哪？】如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的关系，并说明你的结论.提示：线段BE，DF的关系包括位置关系和数量关系，本题只说明了位置关系，遗漏数量关系BE=DF.