八年级数学下册 第1章 直角三角形阶段专题复习习题课件 （新版）湘教版

阶段专题复习第1章请写出框图中数字处的内容:①_____________________;②_____________________________________;③______________________________________________________________________;④_________________________________________________________;⑤___________________________________;直角三角形两锐角互余直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半在直角三角形中,如果一个内角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方,即a2+b2=c2有一个角是直角的三角形是直角三角形⑥_________________________________;⑦____________________________________________________________________;⑧__________________________________________________________________________________;⑨_____________________________________;⑩_____________________________________________.有两个角互余的三角形是直角三角形如果三角形的三边长a,b,c满足关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上考点1直角三角形判定与性质的应用【知识点睛】1.直角三角形的相关性质:分类性质边两条直角边的平方和等于斜边的平方;在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半角有一个角等于90°;直角三角形的两个锐角互余分类性质边角相互联系1.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半;2.在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°其他1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL);2.直角三角形的面积等于两条直角边乘积的一半,直角三角形的面积也等于斜边与斜边上的高乘积的一半,故两条直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积;3.直角三角形的三条高线相交在直角顶点2.直角三角形判定的选择思路:(1)当题目中有角的度数时,用定义或有两个角互余的三角形是直角三角形来判定.(2)当题目中有三个边的长度时,用勾股定理的逆定理判定.【例1】(2013·常德中考)如图,已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB,ME.且CB与CE在同一直线上.(1)求证MB∥CF.(2)若AB=a,CE=2a,求BM,ME的长.【思路点拨】(1)连接CM,先由∠ACF=90°确定△ACF是直角三角形,可得AM=CM=FM,由SSS得△ABM≌△CBM,所以∠AMC=2∠AMB=∠MFC+∠MCF,再由∠MFC=∠MCF得∠AMB=∠AFC,所以BM∥CF.(2)由△CEM≌△FEM得出△EBM是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求解即可.【自主解答】(1)如图,连接CM,∵△ABC与△CEF是等腰直角三角形,∴∠ACF=2×45°=90°,即△ACF是直角三角形,又点M是AF的中点,∴CM=AM,又AB=CB,BM=BM,∴△ABM≌△CBM,∴∠1=∠2,∴∠AMC=2∠1,∵CM=MF,∴∠3=∠4,∴∠AMC=2∠3,∴∠1=∠3,∴BM∥CF.(2)∵CM=FM,CE=FE,EM=EM,∴△CEM≌△FEM,∴∠CEM=∠FEM=∠CEF=45°,又由(1)可知BM∥CF,∴∠EBM=∠ECF=45°,∴△EBM是等腰直角三角形,∵AB=a,CE=2a,∴BE=2a-a=a,又∵BM2+EM2=BE2,∴2BM2=2EM2=a2,∴BM=EM=a.1222【中考集训】1.(2013·陕西中考)如图,AB∥CD,∠CED=90°,∠AEC=35°,则∠D的大小为()A.65°B.55°C.45°D.35°【解析】选B.∵AB∥CD,∴∠C=∠AEC=35°,∵∠CED=90°,∴∠D=90°-∠C=90°-35°=55°.2.(2013·遂宁中考)如图,有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在矩形的对边上.如果∠1=18°,那么∠2的度数是.【解析】如图,∵∠1+∠3=90°-60°=30°,而∠1=18°,∴∠3=30°-18°=12°,∵AB∥CD,∴∠2=∠3=12°.答案:12°3.(2013·上海中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF∥AB交DE的延长线于点F.连接CD,过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G.求证:∠B=∠A+∠DGC.【证明】∵CF∥AB,∴∠A=∠ACG,∴∠A+∠DGC=∠ACG+∠DGC=∠DHC,∵∠ACB=90°,点D为边AB的中点,∴AD=DC,∴∠A=∠ACD,又∵∠ACB=∠CDG=90°,∴∠B=∠DHC,∴∠B=∠A+∠DGC.考点2勾股定理及其逆定理【知识点睛】1.勾股定理的逆定理是研究三角形三边的数量关系的定理,利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤:(1)判断哪条边最大.(2)分别用代数方法计算出较小两边的平方和及最大边的平方的值.(3)判断它们是否相等,若相等,则是直角三角形;若不相等,则不是直角三角形.2.勾股定理及其逆定理可以解决直角三角形中有关边、角的问题,在应用勾股定理的时候要注意以下三点:(1)条件:勾股定理及其逆定理一定要在直角三角形中应用,或者先通过作辅助线构造直角三角形再进行应用.(2)方法:在解决问题时,常用数形结合的方法.(3)分类:分类讨论,要学会从不同角度考虑条件和图形,在讨论的过程中提高学生对知识的灵活应用能力.【例2】(2013·包头中考)如图,一根长6m的木棒AB,斜靠在与地面OM垂直的墙ON上,与地面的倾斜角∠ABO=60°.当木棒A端沿墙下滑至点A'时,B端沿地面向右滑行至点B'.(1)求OB的长.(2)当AA'=1m时,求BB'的长.3【思路点拨】(1)先求出∠OAB=30°,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OB的长.(2)先由勾股定理求出OA的长,再由勾股定理求出OB'的长,即可得到BB'的长.【自主解答】(1)∵∠ABO=60°，∠AOB=90°，∴∠OAB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，∴OB=(2)∵∴OA=∵OA′=OA-AA′，AA′=1m，∴OA′=8m，在Rt△A′OB′中，OB′=∴BB′=OB′-OB=11AB6333m.22OB33mAB63m，，22ABOB108279m－，22ABOA211m，21133m.【中考集训】1.(2013·巴中中考)若直角三角形的两直角边长为a，b，且满足+|b-4|=0，则该直角三角形的斜边长为_____．【解析】∵+|b-4|=0，∴a2-6a+9=0，b-4=0，解得a=3，b=4，∵直角三角形的两直角边长为a,b，∴该直角三角形的斜边长=答案:52a6a92a6a92222ab345．2.(2013·漳州中考)如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是________．【解析】∵OC=1,∴OB=∵OA=OB,∴数轴上点A表示的数是答案:2,2.23.(2013·赤峰中考)如图，长方形ABCD中，E是BC的中点，长方形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为______cm.【解析】设AB=x,则可得BC=10-x,∵E是BC的中点，∴在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2,即解得，x=4.即AB的长为4cm.答案：4110xBEBC,2222210xx()5,24.(2013·东营中考)如图,圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m(容器厚度忽略不计).【解析】将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，如图,∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，∴A′D=0.5m，BD=1.2m，==1.3(m).答案：1.322ABADBD220.51.2考点3直角三角形全等的判定及应用【知识点睛】1.判定两个直角三角形全等的基本思路:(1)已知两边相等,用“HL”或“SAS”证明.(2)已知一边、一角相等,用“ASA”或“AAS”证明.2.直角三角形全等的应用:(1)证明线段或角相等.(2)通过角的关系判断线和线之间的位置关系.【例3】(2013·菏泽中考)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连接AE,DE,DC.(1)求证:△ABE≌△CBD.(2)若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.【思路点拨】(1)求出∠ABE=∠CBD,然后利用“边角边”证明△ABE和△CBD全等即可.(2)先根据等腰直角三角形的锐角都是45°求出∠CAB,再求出∠BAE,然后根据全等三角形对应角相等求出∠BCD,再根据直角三角形两锐角互余求解即可.【自主解答】(1)∵∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，∴∠ABE=∠CBD=90°，在△ABE和△CBD中，∴△ABE≌△CBD(SAS).ABCBABECBDBEBD，，，(2)∵AB=CB，∠ABC=90°，∴∠CAB=45°，∵∠CAE=30°，∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，∵△ABE≌△CBD，∴∠BCD=∠BAE=15°，∴∠BDC=90°-∠BCD=90°-15°=75°.【中考集训】1.(2012·临沂中考)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,则AE=cm.【解析】∵∠ACB=90°,∴∠ECF+∠BCD=90°,∵CD⊥AB,∴∠BCD+∠B=90°,∴∠ECF=∠B,在△ABC和△FCE中,∵∠ECF=∠B,EC=BC,∠ACB=∠FEC=90°,∴△ABC≌△FCE(ASA),∴AC=EF,∵AE=AC-CE,BC=2cm,EF=5cm,∴AE=5-2=3(cm).答案:32.(2012·云南中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是AB边上的一点,DM⊥AB,且DM=AC,过点M作ME∥BC交AB于点E.求证:△ABC≌△MED.【证明】∵MD⊥AB，∴∠MDE=∠C=90°，∵ME∥BC，∴∠B=∠MED，在△ABC与△MED中，∴△ABC≌△MED．BMEDCMDEACDM，，，3.(2013·泉州中考)如图,已知AD是△ABC的中线,分别过点B,C作BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:BE=CF.【证明】∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF，∴BE=CF．BEDCFD90BDECDF,BDCD,，考点4角平分线的性质【知识点睛】角平分线性质的应用及注