八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.1 轴对称 13.1.2 第1课时 线段垂直平分线的性质和判

13.1.2线段的垂直平分线的性质第十三章轴对称导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时线段的垂直平分线的性质和判定学习目标1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法．(重点）2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题．（难点）导入新课问题引入某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC讲授新课线段垂直平分线的性质一如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离之间的数量关系．ABlP1P2P3探究发现P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝猜想：点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离分别相等．命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．PABlC验证结论例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm典例精析C解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.6B.5C.4D.32.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长是.B10cmPABCD图①ABCDE图②例2尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.ABCDEK已知：直线AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.12F（1）为什么任意取一点K，使点K与点C在直线两旁？12DE（2）为什么要以大于的长为半径作弧？（3）为什么直线CF就是所求作的垂线？想一想：例3已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.BACMNM'N'PPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上解析：证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，∴PA=PB.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？例4如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出AB＝BF，再结合（1）即可解答．证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.线段垂直平分线的判定二想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？PAB合作探究已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：过点P作AB的垂线PC，垂足为点C．则∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．PABC知识要点线段垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．应用格式：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.这些点能组成什么几何图形？你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与A、B两点的距离相等的所有点的集合.PABCl应用格式：∵AB=AC，MB=MC，∴直线AM是线段BC的垂直平分线．ABCDM这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.例5已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.ABOEDC证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE.∴OE是CD的垂直平分线.又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC.∴DO=CO.例6已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.证明：∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB.同理OB=OC.∴OA=OC.∴点O在AC的垂直平分线上.结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？当堂练习1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB；C．AB与CD互相垂直平分；D．CD平分∠ACB．ＡＢＣＤA2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点D4.下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有（填序号）.①②③3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有种.无数5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是cm.ABCDE166.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.证明：∵AC=BC，AD=BD，∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，∴CD为线段AB的垂直平分线.又∵AB与CD相交于点O，∴AO=BO.7.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF.∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.ABCDEF8.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.拓展提升：解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.课堂小结线段的垂直平分的性质和判定性质到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上内容判定内容作用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等作用见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上