2021高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语和不等式 第4节 基本不等式课件

第一章集合、常用逻辑用语和不等式第4节基本不等式课程标准考情索引核心素养1.掌握基本不等式ab≤a＋b2(a，b0).2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.2019·天津卷，T132019·江苏卷，T102019·北京卷，T142018·天津卷，T132018·江苏卷，T132017·江苏卷，T101.逻辑推理2.数学建模3.数学运算1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．2．几个重要不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)ba＋ab≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值q那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是q24(简记：和定积最大)．1．基本不等式的两个变形．(1)a2＋b22≥a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a2＋b22≥a＋b2≥ab(a0，b0，当且仅当a＝b时取等号)．2．使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的．()(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sinx＋4sinx的最小值为4.()(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件．()解析：(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式a＋b2≥ab成立的条件是a0，b0.(2)函数y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值．(3)函数f(x)＝sinx＋4sinx没有最小值．(4)x0且y0是xy＋yx≥2的充分不必要条件．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A必修5·习题改编)若x0，则x＋1x()A．有最小值，且最小值为2B．有最大值，且最大值为2C．有最小值，且最小值为－2D．有最大值，且最大值为－2解析：因为x0，所以－x0，－x＋1－x≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.故选D.答案：D3．(人A必修5·习题改编)若x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．9B．18C．36D．81解析：因为x＋y＝18，所以xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选A.答案：A[典题体验]4．(2020·黄山质检)已知f(x)＝x2＋3x＋6x＋1(x0)，则f(x)的最小值是()A．2B．3C．4D．5解析：f(x)＝x2＋3x＋6x＋1＝（x＋1）2＋（x＋1）＋4x＋1＝x＋1＋4x＋1＋1≥2（x＋1）·4x＋1＋1＝5.当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时取“＝”．故f(x)的最小值为5.答案：D5．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________．解析：因为a－3b＋6＝0，所以a－3b＝－6，所以2a＋18b＝2a＋2－3b≥22a·2－3b＝22a－3b＝22－6＝14，当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1时，2a＋18b取得最小值为14.答案：146.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________．解析：由题意可得BC＝18x－x2，所以y＝18x＋3x2≥218x×3x2＝63.当且仅当18x＝3x2(2≤x6)时，即x＝23时等号成立，此时用料最省．答案：23考点1利用基本不等式求最值(自主演练)1．若a0，b0且2a＋b＝4，则1ab的最小值为()A．2B.12C．4D.14解析：因为a0，b0，故2a＋b≥22ab(当且仅当2a＝b时取等号)．又因为2a＋b＝4，所以22ab≤4⇒0ab≤2，所以1ab≥12，故1ab的最小值为12(当且仅当a＝1，b＝2时等号成立)．答案：B2．(2020·安徽江南十校大联考)已知实数x满足log12x1，则函数y＝8x＋12x－1的最大值为()A．－4B．8C．4D．0解析：由log12x1，得0x12，从而得到－12x－10，则y＝8x＋12x－1＝4(2x－1)＋12x－1＋4＝－4（1－2x）＋11－2x＋4≤－24（1－2x）·11－2x＋4＝0，当且仅当4(1－2x)＝11－2x，即x＝14时取等号，所以函数y＝8x＋12x－1的最大值为0.答案：D3．(2019·天津卷)设x0，y0，x＋2y＝4，则（x＋1）（2y＋1）xy的最小值为________．解析：（x＋1）（2y＋1）xy＝2xy＋x＋2y＋1xy＝2xy＋5xy＝2＋5xy.因为x0，y0，所以4＝x＋2y≥2x·2y，解得0xy≤2，当且仅当x＝2y＝2，即x＝2且y＝1时“＝”成立．此时，1xy≥12，则2＋5xy≥2＋52＝92.故（x＋1）（2y＋1）xy的最小值为92.答案：924．(2020·青岛一中检测)已知实数a0，b0，2是8a与2b的等比中项，则1a＋2b的最小值是________．解析：依题设，2＝8a·2b，则3a＋b＝1.又a0，b0，所以1a＋2b＝(3a＋b)1a＋2b＝5＋6ab＋ba≥5＋2ba·6ab＝5＋26.当且仅当b＝6a＝6－2时取等号．所以1a＋2b的最小值为5＋26.答案：5＋26在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式．下面主要讲述两种思路：1．对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．2．条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．考点2基本不等式的实际应用(讲练互动)[典例]运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油2＋x2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式．(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用的值．解：(1)设所用时间为t＝130x(小时)，y＝130x×2×2＋x2360＋14×130x，x∈[50，100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝130×18x＋2×130360x，x∈[50，100](或y＝2340x＋1318x，x∈[50，100])．(2)y＝130×18x＋2×130360x≥2610，当且仅当130×18x＝2×130360x，即x＝1810时等号成立．故当x＝1810千米时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．1．设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数解析式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．解析：由题意知t＝23－x－1(1x3)，设该公司的月利润为y万元，则y＝48＋t2xx－32x－3－t＝16x－t2－3＝16x－13－x＋12－3＝45.5－16（3－x）＋13－x≤45.5－216＝37.5，当且仅当x＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．答案：37.5考点3基本不等式的综合应用(多维探究)角度求参数的取值(范围)[典例1](2020·惠州检测)对任意正数m，n，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为()A.2B．22C．4D.92解析：对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，所以m2＋2n2≥amn，即a≤m2＋2n2mn＝mn＋2nm恒成立．又mn＋2nm≥2mn·2nm＝22，当仅当mn＝2nm时取“＝”，所以a≤22，故a的最大值为22.答案：B角度基本不等式与其他知识交汇[典例2](2020·厦门模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1，22－1)D．(－22－1，22－1)解析：由f(x)0得32x－(k＋1)3x＋20，解得k＋13x＋23x.又3x＋23x≥22(当且仅当3x＝23x，即x＝log32时，等号成立)．所以k＋122，即k22－1.答案：B[典例3](一解多解)(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．解析：法一依题意画出图形，如图所示．易知S△ABD＋S△BCD＝S△ABC，即12csin60°＋12asin60°＝12acsin120°，所以a＋c＝ac，所以1a＋1c＝1，所以4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝5＋ca＋4ac≥9，当且仅当ca＝4ac，即a＝32，c＝3时取“＝”．法二以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D(1，0)，因为AB＝c，BC＝a，所以Ac2，32c，Ca2，－32a.因为A，D，C三点共线，所以AD→∥DC→.所以1－c2－32a＋32ca2－1＝0，所以ac＝a＋c，所以1a＋1c＝1，所以4a＋c＝(4a＋c)1a＋1c＝5＋ca＋4ac≥9，当且仅当ca＝4ac，即a＝32，c＝3时取“＝”．答案：91．求基本不等式与其他知识交汇的最值问题的类型及策略：(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．2．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．1．(角度1)已知x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝1，若2yx＋2y≥m恒成立，则实数m的取值可以是()A．2B．3C．4D．8解析：由于x＋y＝1，且x，y大于0，所以2yx＋2y＝2yx＋2x＋2yy＝2yx＋2xy＋2≥22yx·2xy＋2＝6，当且仅当yx＝xy，即x＝y＝12时等号成立，故实数m的取值范围为(－∞，6]．所以m的取值2，3，4均符合要求．答案：ABC2．(角度2)已知等差数列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn为数列{an}的前n项和，则S