2021高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语和不等式 第3节 相等关系与不等式关系课件

第一章集合、常用逻辑用语和不等式第3节相等关系与不等关系课程标准考情索引核心素养1.梳理等式的性质.2.理解不等式的概念，掌握不等式的性质.2019·全国卷Ⅱ，T62018·全国卷Ⅲ，T122017·山东卷，T71.逻辑推理2.数学运算1．实数的大小顺序与运算性质的关系(1)ab⇔a－b0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)ab⇔a－b0.2．等式的性质(1)对称性：若a＝b，则b＝a.(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.3．不等式的性质(1)对称性：ab⇔ba；(2)传递性：ab，bc⇒ac；(3)可加性：ab⇔a＋cb＋c；ab，cd⇒a＋cb＋d；(4)可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc；ab0，cd0⇒acbd；(5)可乘方：ab0⇒anbn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)．1．在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变．2．有关分数的性质．(1)若ab0，m0，则bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)．(2)若ab0，且ab⇔1a1b.[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)ab⇔ac2bc2.()(2)a＝b⇔ac＝bc.()(3)若ab1，则ab.()(4)0axb或axb0⇒1b1x1a.()解析：由不等式的性质，ac2bc2⇒ab；反之，c＝0时，abac2bc2.(2)由等式的性质，a＝b⇒ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bca＝b.(3)a＝－3，b＝－1，则ab1，但ab，故(3)错．(4)中axb，且a，x，b同号⇒1b1x1a.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√[教材衍化]2．(人A必修5·习题改编)若ab0，cd0，则一定有()A.adbcB.adbcC.acbdD.acbd解析：因为cd0，所以01c1d，两边同乘－1，得－1d－1c0，又ab0，故由不等式的性质可知－ad－bc0，两边同乘－1，得adbc.答案：B3．(人A必修5·习题改编)15－2________16－5(填“”“”或“＝”)．解析：分母有理化有15－2＝5＋2，16－5＝6＋5，显然5＋26＋5，所以15－216－5.答案：[典题体验]4．(2020·贵阳一中月考)若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A．ac2bc2B.1a1bC.baabD．a2abb2解析：若c＝0，则A不成立；1a－1b＝b－aab0，选项B错；ba－ab＝b2－a2ab＝（b＋a）（b－a）ab0，选项C错．故选D.答案：D5．(2018·北京卷)能说明“若ab，则1a1b”为假命题的一组a，b的值依次为________．解析：若ab，则1a1b为真命题，则1a－1b＝b－aab0，因为ab，所以ab0.故当a0，b0时，均能说明“若ab，则1a1b”为假命题．答案：a＝1，b＝－1(答案不唯一)6．若－π2αβπ2，则α－β的取值范围是________．解析：由－π2απ2，－π2－βπ2，αβ，得－πα－β0.答案：(－π，0)考点1比较大小(自主演练)1．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A．c≥baB．ac≥bC．cbaD．acb解析：因为c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，所以c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，所以2b＝2＋2a2，所以b＝a2＋1，所以b－a＝a2－a＋1＝a－122＋340，所以ba，所以c≥ba.答案：A2．(一题多解)若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则()A．abcB．cbaC．cabD．bac解析：法一易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝log81641，所以ab；bc＝5ln44ln5＝log62510241，所以bc.因此abc.法二对于函数y＝f(x)＝lnxx，y′＝1－lnxx2，易知xe时，y′0，函数f(x)单调递减．因为e345，所以f(3)f(4)f(5)，故cba.答案：B3．若a0，b0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A．pqB．p≤qC．pqD．p≥q解析：p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b＝（b2－a2）（b－a）ab＝（b－a）2（b＋a）ab，因为a0，b0，所以a＋b0，ab0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q0，故pq.综上，p≤q.故选B.答案：B1．比差法的步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．2．作商法：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)结论．作商比较法常适用于两式均为正数的大小比较．考点2不等式的性质(讲练互动)[典例1]已知a，b，c满足cba，且ac0，那么下列选项中一定成立的是()A．abacB．c(b－a)0C．cb2ab2D．ac(a－c)0解析：由ac0，知a、c异号，又cba，所以a0，从而abac，A一定成立．当b＝0时，显然B、C不成立．由ac0，a－c0，易知ac(a－c)0，D不正确．答案：A[典例2](多选题)已知三个不等式：①ab0，②cadb，③bcad.则下列结论正确的是()A．①③⇒②B．①②⇒③C．②③⇒①D．①②③解析：由ab0，cadb得ab·cadb·ab，即bcad，因此①②⇒③，B正确，D错误．又bcad，ab0，得bcabadab，即cadb，所以①③⇒②，A项正确．同理②③⇒①，知C项正确．答案：ABC1．解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误选项．2．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．1．(2019·全国卷Ⅱ)若ab，则()A．ln(a－b)0B．3a3bC．a3－b30D．|a||b|解析：因为ab，所以a－b0，取a－b＝1，则ln(a－b)＝0.故A错误．由y＝3x在R上单调递增可知3a3b，故B错误．由y＝x3在R上是增函数可知a3b3，故C正确．取a＝0，b＝－1，则|a||b|，故D错误．答案：C2．(2020·广东清远检测)已知1a1b0，给出下列三个结论：①a2b2；②ba＋ab2；③lga2lg(ab)．正确结论的序号是()A．①②B．①③C．②③D．①②③解析：因为1a1b0.所以ba0.①a2－b2＝(a＋b)(a－b)0，所以a2b2，正确；②因为a，b同号，且a≠b，所以ba＋ab2，正确；③a2－ab＝a(a－b)0，所以a2ab，所以lga2lg(ab)，错误．综上知①②正确．答案：A考点3不等式及其性质的应用(多维探究)角度不等式在实际问题中的应用[典例1](2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数．(1)若教师人数为4，则女学生人数的最大值为____；(2)该小组人数的最小值为________．解析：设男学生人数为x，女学生人数为y，教师人数为z，由已知得x＞y，y＞z，2z＞x，且x，y，z均为正整数．(1)当z＝4时，8＞x＞y＞4，所以x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.(2)x＞y＞z＞x2，当x＝3时，条件不成立，当x＝4时，条件不成立，当x＝5时，5＞y＞z＞52，此时z＝3，y＝4.所以该小组人数的最小值为12.答案：(1)6(2)12角度利用不等式的性质求代数式的取值范围[典例2]已知－1x4，2y3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．解析：因为－1x4，2y3，所以－3－y－2，所以－4x－y2.由－1x4，2y3，得－33x12，42y6，所以13x＋2y18.答案：(－4，2)(1，18)1．解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．2．利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．1．(角度1)已知b克糖水中含有a克糖(ba0)，再添加m克糖(m0)(假设全部溶解)，糖水变甜了，请把这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．解：不等式为：a＋mb＋mab(ba0，m0)．因为a＋mb＋m－ab＝（b－a）mb（b＋m），由ba0，m0，所以b－a0，m0，b(b＋m)0.故（b－a）mb（b＋m）0，则a＋mb＋mab.2．(角度2)已知－1xy3，则x－y的取值范围是________．解析：因为－1x3，－1y3，所以－3－y1，所以－4x－y4.又因为xy，所以x－y0，所以－4x－y0，故x－y的取值范围为(－4，0)．答案：(－4，0)