2021高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语和不等式 第1节 集合课件

第一章集合、常用逻辑用语和不等式第1节集合课程标准考情索引核心素养1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．能用自然语、图形语言和符号语言刻画集合．在具体情境中，了解全集与空集的含义.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解集合的交集与并集的含义，能求两个集合的并集与交集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．能用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.2019·全国卷Ⅰ，T12019·全国卷Ⅱ，T12019·全国卷Ⅲ，T12018·全国卷Ⅰ，T22018·全国卷Ⅱ，T22018·全国卷Ⅲ，T11.数学运算2.直观想象1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算项目集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.1．若有限集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．2．子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．5．空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．()(4)含有n个元素的集合有2n个真子集．()解析：(1){x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集．(2)当x＝1时，不满足互异性．(3)(A∩B)⊆A⊆(A∪B)．(4)含有n个元素的集合有2n－1个真子集．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×[教材衍化]2．(人A必修1·习题改编)若集合P＝{x∈N|x≤2021}，a＝22，则()A．a∈PB．{a}∈PC．{a}⊆PD．a∉P解析：因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2021的自然数构成的集合，所以a∉P，只有D正确．答案：D3．(人A必修1·习题改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．解析：集合A表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B表示直线y＝x上的点，圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点22，22，－22，－22，则A∩B中有两个元素．答案：2[典题体验]4．(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝()A．{－1，0，1}B．{0，1}C．{－1，1}D．{0，1，2}解析：因为B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，又A＝{－1，0，1，2}，所以A∩B＝{－1，0，1}．答案：A5．(2019·全国卷Ⅱ改编)已知集合A＝{x|x－1}，B＝{x|x2}，全集U＝R，则(∁UA)∪B＝()A．(－1，＋∞)B．(－∞，2)C．(－1，2)D．∅解析：易知∁UA＝{x|x≤－1}，B＝{x|x2}，所以(∁UA)∪B＝{x|x2}．答案：B6．(2020·日照一中检测)已知集合M＝{x|0x5}，N＝{x|mx6}，若M∩N＝{x|3xn}，则m＋n等于()A．9B．8C．7D．6解析：因为M∩N＝{x|0x5}∩{x|mx6}＝{x|3xn}，所以m＝3，n＝5，因此m＋n＝8.答案：B考点1集合的基本概念(自主演练)1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4解析：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共有9个．故选A.答案：A2．定义P⊙Q＝z|z＝yx＋xy，x∈P，y∈Q，已知P＝{0，－2}，Q＝{1，2}，则P⊙Q＝()A．{1，－1}B．{1，－1，0}C.1，－1，－34D.－1，－34解析：由定义，当x＝0时，z＝1.当x＝－2时，z＝1－2＋－21＝－1或z＝2－2－1＝－34，因此P⊙Q＝1，－1，－34.答案：C3．设集合A＝{x|(x－a)21}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得（2－a）21，（3－a）2≥1，解得1a3，a≤2或a≥4.所以1a≤2.答案：(1，2]4．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．所以所求的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6个．答案：61．研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．2．利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．考点2集合间的基本关系(讲练互动)[典例1](2020·广东六校联考)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A．{－1}B．{1}C．{－1，1}D．{－1，0，1}解析：当B＝∅时，a＝0，此时，B⊆A.当B≠∅时，则a≠0，所以B＝x|x＝－1a.又B⊆A，所以－1a∈A，所以a＝±1.综上可知，实数a所有取值的集合为{－1，0，1}．答案：D[典例2](2020·辽宁沈阳一中检测)设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}．若A⊆(A∩B)，则实数a的取值范围为________．解析：由A⊆(A∩B)，得A⊆B，则①当A＝∅时，2a＋13a－5，解得a6；②当A≠∅时，2a＋1≤3a－5，2a＋1≥3，3a－5≤22，解得6≤a≤9.综上可知，使A⊆(A∩B)成立的实数a的取值范围为(－∞，9]．答案：(－∞，9)1．若B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解．1．已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则()A．ABB．BAC．A⊆BD．B＝A解析：易知A＝{x|－1≤x≤1}，所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}．因此BA.答案：B2．(2020·佛山一中检测)已知集合A＝{x|y＝log2(x2－3x－4)}，B＝{x|x2－3mx＋2m20(m0)}，若B⊆A，则实数m的取值范围为()A．(4，＋∞)B．[4，＋∞)C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：由x2－3x－40，得A＝{x|x－1或x4}，解x2－3mx＋2m20(m0)，得B＝{x|mx2m，m0}．又B⊆A，所以2m≤－1(舍)或m≥4.答案：B考点3集合的基本运算(多维探究)角度集合的基本运算[典例1](2019·全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁UA＝()A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7}解析：由题意，知∁UA＝{1，6，7}．又B＝{2，3，6，7}，故B∩∁UA＝{6，7}．答案：C[典例2](2020·九江模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x－4≤0}，B＝{x|lnx2}，则∁U(A∩B)＝()A．{x|x4}B．{x|x≤0或x4}C．{x|0x≤4}D．{x|x4或x≥e2}解析：易知A＝{x|x≤4}，B＝{x|0xe2}，则A∩B＝{x|0x≤4}，故∁U(A∩B)＝{x|x≤0或x4}．答案：B角度集合的新定义运算[典例3](2020·河北保定模拟)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|12x4}，Q＝{y|y＝2＋sinx，x∈R}，那么P－Q＝()A．{x|0x≤1}B．{x|0≤x2}C．{x|1≤x2}D．{x|0x1}解析：由题意得P＝{x|0x2}，Q＝{y|1≤y≤3}，由定义知P－Q＝{x|0x1}．答案：D角度利用集合运算求参数[典例4](2020·江西南昌模拟)已知集合A＝{x|y＝4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为()A．[－1，2]B．(－∞，－3]∪[2，＋∞)C．[－2，1]D．[2，＋∞)解析：由4－x2≥0，得A＝[－2，2]，又A∪B＝A，知B⊆A.所以a≥－2，a＋1≤2.解之得－2≤a≤1.答案：C1．进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算．2．注意数形结合思想的应用．(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解．(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解．运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心．1．(角度1)(2019·天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2}B．{2，3}C．{－1，2，3}D．{1，2，3，4}解析：因为A∩C＝{1，2}，且B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．答案：D2．(角度2)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”；A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为()A．15B．16C．20D．21解析：由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0，1，2，3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1，0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4，2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5，3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1，2，3，4，5，6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.答案：D3．(角度3)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，B＝{x|a－1≤xa}，若A∩B只有一个元素，则a＝()A．0B．1C．2D．1或2解析：易知A＝[0，1]，且A∩B只有一个元素．因此a－1＝1，解得a＝