2021高考数学一轮复习 第五章 数列 第2节 等差数列及其前n项和课件

第五章数列第2节等差数列及其前n项和课程标准考情索引核心素养1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系.2019·全国卷Ⅰ，T92019·全国卷Ⅲ，T142019·江苏卷，T82018·全国卷Ⅰ，T42018·全国卷Ⅱ，T172017·全国卷Ⅰ，T121.逻辑推理2.数学建模3.数学运算1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d．(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）d2＝n（a1＋an）2．3．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m，n，p，q，k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak．(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd．(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．(4)若数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)·an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)．(5)等差数列的通项公式形如an＝an＋b(a，b为常数)，前n项和公式形如Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)，结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍．1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.2．用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列．3．等差数列{an}的单调性：当d0时，{an}是递增数列；当d0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×[教材衍化]2．(人A必修5·习题改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()A．31B．32C．33D．34解析：由已知可得a1＋5d＝2，5a1＋10d＝30，解得a1＝263，d＝－43，所以S8＝8a1＋8×72d＝32.答案：B3．(人A必修5·习题改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180.答案：180[典题体验]4．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12解析：设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得33a1＋3×（3－1）2×d＝2a1＋2×（2－1）2×d＋4a1＋4×（4－1）2×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.答案：B5．(一题多解)若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4＝4，S6＝12，则S2＝()A．－1B．0C．1D．3解析：法一由题意得4a1＋6d＝4，6a1＋15d＝12，解得a1＝－12，d＝1，所以S2＝2a1＋d＝0，故选B.法二由等差数列的性质知，S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，所以2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，即2(4－S2)＝S2＋8，解得S2＝0，故选B.答案：B6．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a90，a7＋a100，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．解析：因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a80，所以a80.又a7＋a10＝a8＋a90，所以a90.故当n＝8时，其前n项和最大．答案：8考点1等差数列基本量的运算(自主演练)1．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则()A．an＝2n－5B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8nD．Sn＝12n2－2n解析：设首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得a1＋4d＝5，4a1＋6d＝0，解得a1＝－3，d＝2.所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋n（n－1）2×2＝n2－4n.答案：A2．等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)，…的第四项等于()A．3B．4C．log318D．log324解析：因为log3(2x)，log3(3x)，log3(4x＋2)成等差数列，所以log3(2x)＋log3(4x＋2)＝2log3(3x)，所以log3[2x(4x＋2)]＝log3(3x)2，所以2x（4x＋2）＝（3x）2，2x0，4x＋20，3x0，解得x＝4.所以等差数列的前三项为log38，log312，log318，所以公差d＝log312－log38＝log332，所以数列的第四项为log318＋log332＝log327＝3.故选A.答案：A3．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则S10S5＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝3a1，所以a2＝a1＋d＝3a1，所以d＝2a1，所以S10＝10a1＋10×92d＝100a1，S5＝5a1＋5×42d＝25a1，又因为a1≠0，所以S10S5＝4.答案：4等差数列基本量的运算的思想与方法1．方程思想：等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a1，d，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解．2．整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．3．利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．考点2等差数列的判定与证明(典例迁移)[典例](经典母题)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以1Sn－1Sn－1＝2，又1S1＝1a1＝2，故1Sn是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解：由(1)可得1Sn＝2n，所以Sn＝12n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－12（n－1）＝n－1－n2n（n－1）＝－12n（n－1）.当n＝1时，a1＝12不适合上式．故an＝12，n＝1，－12n（n－1），n≥2.[迁移探究]1．将典例中的条件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12”改为“Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝2”，问题不变，试求解．(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0.所以Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0，即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0.即1Sn－1Sn－1＝12.又1S1＝1a1＝12.故数列1Sn是以首项为12，公差为12的等差数列．(2)解：由(1)知1Sn＝n2，所以Sn＝2n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n（n－1）.当n＝1时，a1＝2不适合上式，故an＝2，n＝1，－2n（n－1），n≥2.2．若典例中的条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由．解：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2)．所以1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)．又1S1＝1a1＝2，所以1Sn是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1Sn＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝12n.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－12（n－1）＝－12n（n－1）.所以an＋1＝－12n（n＋1），又an＋1－an＝－12n（n＋1）－－12n（n－1）＝－12n·1n＋1－1n－1＝1n（n－1）（n＋1）.当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列．等差数列的四种判断方法1．定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．可用来判定与证明．2．等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列，可用来判定与证明．3．通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．4．前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．考点3等差数列的性质及应用(讲练互动)[典例1]在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝()A．18B．99C．198D．297解析：因为a3＋a9＝27－a6，2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝112(a1＋a11)＝11a6＝99.答案：B[典例2]已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________．解析：因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.答案：21[典例3]已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是________．解析：由等差数列前n项和的性质可知，anbn＝A2n－1B2n－1＝14n＋382n＋2＝7＋12n＋1.故当n＝1，2，3，5，11时，anbn为整数，故使得anbn为整数的正整数n的个数是5.答案：51．项的性质．(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.(2)在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．2．和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则：(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．(2)S2n－1＝(2n－1)an.1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＋a6＝28，则S10＝()A．140B．280C．168D．56解析：由等差数列的性质得，a5＋a6＝28＝a1＋a10，其前10项之和为10（a1＋a10）2＝10×282＝140.答案：A2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27解析：由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，则2(S6－S3)