2021高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5节 古典概型与几何概型课件

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第5节古典概型与几何概型课程标准考情索引核心素养1.理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．2.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．3.了解几何概型的意义.2019·全国卷Ⅰ，T62019·全国卷Ⅱ，T42019·全国卷Ⅲ，T32018·全国卷Ⅱ，T82018·全国卷Ⅰ，T102017·全国卷Ⅰ，T21.数学建模2.数学运算1．古典概型(1)基本事件的特点．①任何两个基本事件是互斥的．②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．(2)古典概型的定义．具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(3)古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数．2．几何概型(1)几何概型的定义．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的两个基本特点．(3)几何概型的概率公式．P(A)＝构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.1．几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的，前者概率的计算与基本事件的区域有关．2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．()(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()(4)利用古典概型可求“在半径为2的圆内任取一点，这点到圆心距离不大于1”的概率．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×[教材衍化]2．(人A必修3·习题改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为()A.25B.415C.35D．非以上答案解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为p＝615＝25.答案：A3．(人A必修3·习题改编)如图所示，正方形的边长为2，向正方形ABCD内随机投掷200个点，有30个点落入图形M中，则图形M的面积的估计值为________．解析：由题意可得正方形面积为4，设不规则图形的面积为S，由几何概型概率公式可得S4＝30200，所以S＝0.6.答案：0.6[典题体验]4．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12解析：依题意4人排成一列有n＝A44种方法，其中两位女生相邻的情况m＝A22A33种，故所求事件的概率p＝A22A33A44＝2×624＝12.答案：D5．(2020·衡水中学检测)在[－6，9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m，则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于()A.215B.715C.35D.1115解析：因为f(x)＝－x2＋mx＋m的图象与x轴有公共点，所以Δ＝m2＋4m≥0，所以m≤－4或m≥0，所以在[－6，9]内取一个实数m，函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率P＝[－4－（－6）]＋（9－0）9－（－6）＝1115.答案：D6．(2020·长沙雅礼中学调研)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大122，则口袋中原有小球的个数为________．解析：设原来口袋中白球、黑球的个数分别为n个，依题意n＋12n＋1－n2n＝122，解得n＝5.所以原来口袋中小球共有2n＝10个．答案：10考点1简单古典概型的概率(自主演练)1．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15解析：设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机抽出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.答案：B2.(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516B.1132C.2132D.1116解析：在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的基本事件数为C36＝20.所以在所有重卦中随机取一重卦．该重卦恰有3个阳爻的概率p＝2064＝516.答案：A3．(2020·惠州一中检测)2021年广东新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年上高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为()A.12B.13C.16D.19解析：基本事件总数为C13C13＝9，他们选课相同的事件总数为C13C11＝3，所以他们选课相同的概率P＝39＝13.答案：B1．求古典概型概率的步骤：(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A.(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m.(3)利用公式P(A)＝mn，求出事件A的概率．2．确定基本事件个数的方法：(1)基本事件较少的古典概型，用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．(2)利用计数原理、排列与组合的有关知识计算基本事件．考点2复杂古典概型的概率(讲练互动)[典例]某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．解：(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C36＝1100，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100.(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.则P(B)＝C23C23C46＝35，P(C)＝C33C13C46＝15.由互斥事件的概率加法公式，得P(A)＝P(B)＋P(C)＝35＋15＝45，故所求事件的概率为45.1．解决关于古典概型的概率问题的关键是正确求出基本事件总数和所求事件中包含的基本事件数．(1)注意区分排列与组合，以及正确使用计数原理．(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P(A)＝1－P(A—)求解．2．求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决．1．设平面向量a＝(m，1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1，2，3，4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为()A.18B.14C.13D.12解析：有序数对(m，n)的所有可能情况为4×4＝16个，由a⊥(a－b)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1，2，3，4}，故事件A包含的基本事件为(2，1)和(3，4)，共2个，所以P(A)＝216＝18.答案：A2．已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.79B.13C.59D.23解析：f′(x)＝x2＋2ax＋b2，由题意知f′(x)＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)＞0，所以a＞b，有序数对(a，b)所有结果为3×3＝9种，其中满足a＞b有(1，0)，(2，0)，(3，0)，(2，1)，(3，1)，(3，2)共6种．故所求概率p＝69＝23.答案：D考点3几何概型(多维探究)角度与长度(角度)有关的几何概型[典例1](2020·广州综合测试)在区间[－1，5]上随机地取一个实数a，则方程x2－2ax＋4a－3＝0有两个正根的概率为()A.23B.12C.38D.13解析：因为方程x2－2ax＋4a－3＝0有两个正根，所以2a＞0，4a－3＞0，4a2－4（4a－3）≥0，解得34＜a≤1或a≥3，所以所求概率P＝1－34＋（5－3）5－（－1）＝38，故选C.答案：C[典例2]如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，在∠DAB内作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．解析：以A为圆心，以AD＝1为半径作圆弧DB′︵交AC，AP，AB分别于C′，P′，B′.依题意，点P′在B′D︵上任何位置是等可能的，且射线AP与线段BC有公共点，则事件“点P′在B′C′︵上”发生．又在Rt△ABC中，易求∠BAC＝∠B′AC′＝π6.故所求事件的概率P＝lB′C′︵lB′D︵＝π6·1π2·1＝13.答案：131．与长度有关的几何概型．如果试验结果构成的区域可用长度度量，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.2．与角度有关的几何概型．当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．(一题多解)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34解析：法一7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12.法二当小明到达车站的时刻超过8：00，但又不到8：20时，等车时间将超过10分钟，7：50～8：30的其他时刻到达车站时，等车时间将不超过10分钟，故等车时间不超过10分钟的概率为1－2040＝12.答案：B角度与体积、面积有关的几何概型[典例3](2018·全国卷Ⅰ)右图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3解析：因为S△ABC＝12AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为12π·(AB2)2＝π8AB2，以AC为直径的半圆的面积为12π·(AC2)2＝π8AC2，以BC为直径的半圆的面积为12π·(BC2)2＝π8BC2，所以SⅠ＝12AB·AC，SⅢ＝π8BC2－12AB·AC，SⅡ＝(π8AB2＋π8AC2)－(π8BC2－12AB·AC)