2021高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3节 二项式定理课件

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第3节二项式定理课程标准考情索引核心素养能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2019·全国卷Ⅲ，T42019·浙江卷，T132019·天津卷，T102018·全国卷Ⅲ，T52017·全国卷Ⅰ，T62017·全国卷Ⅲ，T41.数学运算2.逻辑推理1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－r·br＋…＋Cnnbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，Cnn.2．二项式系数的性质1．二项展开式共有n＋1项；各项的次数都等于二项式的幂指数n，等于a与b的指数的和n.2．二项式定理中，通项公式Tr＋1＝Crnan－rbr是展开式的第r＋1项，不是第r项．3．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tr＋1＝Crnan－rbr中，Crn是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关．(2)二项式系数的最值和增减性与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)Crnan－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.()解析：(1)应为第r＋1项．(2)当a，b中包含数字时，系数最大的项不一定为中间一项或中间两项．(3)二项式系数只与n和项数有关．(4)令x＝1，可得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.答案：(1)×(2)×(3)√(4)×[教材衍化]2．(人A选修2－3·习题改编)若x＋1xn展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A．10B．20C．30D．120解析：二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tr＋1＝Cr6·x6－r·1xr＝Cr6x6－2r，当6－2r＝0，即当r＝3时为常数项，T4＝C36＝20.答案：B3．(人A选修2－3·习题改编)化简：C12n＋C32n＋…＋C2n－12n＝________．解析：因为C02n＋C12n＋…＋C2n2n＝22n，所以C12n＋C32n＋…＋C2n－12n＝12(C02n＋C12n＋…＋C2n2n)＝22n－1.答案：22n－1[典题体验]4．(2018·全国卷Ⅲ)(x2＋2x)5的展开式中x4的系数为()A．10B．20C．40D．80解析：(x2＋2x)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr5·(x2)5－r·(2x)r＝Cr5·2r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2.故展开式中x4的系数为C25·22＝40.故选C.答案：C5．(2020·衡水中学检测)已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N＋)是一个递增数列，则k的最大值是()A．5B．6C．7D．8解析：由二项式定理知，an＝Cn－110(n＝1，2，3，…，11)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝C510，则k的最大值为6.答案：B6．(2017·山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________．解析：(1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝Crn3rxr.所以含有x2项的系数为C2n32＝54，所以n＝4.答案：4考点1二项展开式的通项公式(多维探究)角度求展开式中的特定项(或系数)[典例1](2019·天津卷)2x－18x38的展开式中的常数项为________．解析：2x－18x38的通项公式Tr＋1＝Cr8(2x)8－r－18x3r＝Cr8·28－r·－18r·x8－4r.令8－4r＝0，得r＝2，所以常数项为T3＝C28·26－182＝28.答案：28[典例2](2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12B．16C．20D．24解析：(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋x)4＋2x2(1＋x)4，又(1＋x)4的二项展开式的通项Tr＋1＝Cr4xr(r＝0，1，2，3，4)．所以展开式中x3的系数为C34＋2C14＝12.答案：A角度由已知条件求参数[典例3](2020·佛山调研)已知x－ax5的展开式中含x32的项的系数为30，则a＝()A.3B．－3C．6D．－6解析：x－ax5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(x)5－r·－axr＝(－a)rCr5·x5－2r2，依题意，令5－2r＝3，得r＝1，所以(－a)1·C15＝30，a＝－6.答案：D[典例4](2020·潍坊一中质检)若(x2－a)x＋1x10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.13B.12C．1D．2解析：由题意得x＋1x10的展开式的通项公式是Tk＋1＝Ck10·x10－k·1xk＝Ck10x10－2k，x＋1x10的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C310，C210.因此，C310－aC210＝120－45a＝30，所以a＝2.答案：D1．求解此类问题可以分两步完成：第一步，根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数；第二步，根据所求的指数，再求所求的项．2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．1．(角度1)(2017·全国卷Ⅰ)1＋1x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35解析：因为(1＋x)6的通项为Cr6xr，所以1＋1x2(1＋x)6展开式中含x2的项为1·C26x2和1x2·C46x4.因为C26＋C46＝2C26＝2×6×52×1＝30，所以1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为30.故选C.答案：C2．(角度2)若x2＋1ax6的展开式中常数项为1516，则实数a的值为()A．±2B.12C．－2D．±12解析：x2＋1ax6的展开式的通项为Tk＋1＝Ck6(x2)6－k·1axk＝Ck61akx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4.故C46·1a4＝1516，即1a4＝116，解得a＝±2.答案：A考点2二项式系数的性质(讲练互动)[典例1]设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是()A．15x2B．20x3C．21x3D．35x3解析：(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…anxn.令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，所以n＝6.在(1＋x)6的展开式中，二项式系数最大项的系数最大，所以(1＋x)6的展开式中系数最大项为T4＝C36x3＝20x3.答案：B[典例2](a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.答案：31.x＋13xn的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()A．63xB.4xC．4x6xD.4x或4x6x解析：令x＝1，可得x＋13xn的展开式中各项系数之和为2n，即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C24(x)213x2＝63x.答案：A2．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．212B．211C．210D．29解析：因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C3n＝C7n，得n＝10.从而C010＋C110＋C210＋…＋C1010＝210.所以奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29.答案：D考点3二项式定理的应用(讲练互动)[典例1]设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝()A．0B．1C．11D．12解析：512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012·52·(－1)2011＋C20122012·(－1)2012＋a，因为C02012·522012－C12012·522011＋…＋C20112012·52·(－1)2011能被13整除．且512012＋a能被13整除，所以C20122012·(－1)2012＋a＝1＋a也能被13整除．因此a可取值12.答案：D[典例2]设复数x＝2i1－i(i是虚数单位)，则C12020x＋C22020x2＋C32020x3＋…＋C20202020x2020＝()A．iB．－iC．0D．－1－i解析：x＝2i1－i＝－1＋i，C12020x＋C22020x2＋C32020x3＋…＋C20202020x2020＝(1＋x)2020－1＝i2020－1＝0.答案：C1．逆用二项式定理的关键．根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．2．利用二项式定理解决整除问题的思路．(1)观察除式与被除式间的关系．(2)将被除式拆成二项式．(3)结合二项式定理得出结论．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m＞0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a＝b(modm)．若a＝C020＋C120·2＋C220·22＋…＋C2020·220，a＝b(mod10)，则b的值可以是()A．2011B．2012C．2013D．2014解析：因为a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C0101010－C110109＋…＋C91010＋1，所以被10除得的余数为1，2011被10除得的余数是1.答案：A