2021高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第1节 分类加法计数原理与分步乘

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理课程标准考情索引核心素养1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义．2.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.2018·浙江卷，T162016·全国卷Ⅱ，T52016·全国卷Ⅲ，T121.逻辑推理2.数学建模3.数学运算1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.3．分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，综合问题一般是先分类再分步．2．分类的关键在于分类标准要统一，做到“不重不漏”，分步的关键在于要按事件发生的过程准确分步，即合理分类，准确分步．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的每种方法都能完成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．()解析：(1)分类加法计数原理，每类方案中的方法都是不同的，每一种方法都能完成这件事；(4)分步乘法计数原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成这一步，不能完成这件事．所以(1)，(4)均不正确．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×[教材衍化]2.(人A选修2－3·习题改编)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有()A．24种B．30种C．36种D．48种解析：需要先给C块着色，有4种结果；再给A块着色，有3种结果；再给B块着色，有2种结果；最后给D块着色，有2种结果．由分步乘法计数原理知共有4×3×2×2＝48(种)．答案：D3．(人A选修2－3·习题改编)书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．从书架中任取1本书．则不同取法的种数为________．解析：从书架上任取1本书，有三类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9.答案：9[典题体验]4．(2020·济南一中月考)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为()A．24B．48C．60D．72解析：先排个位，再排十位，百位，千位，万位，依次有2，4，3，2，1种排法，由分步乘法计数原理知个数为2×4×3×2×1＝48.故选B.答案：B5．(2020·石家庄模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A．10种B．25种C．52种D．24种解析：每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．答案：D6．(2020·日照一中检测)椭圆x2m＋y2n＝1的焦点在x轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为________．解析：因为焦点在x轴上，所以mn，以m的值为标准分类，分为四类：第一类：m＝5时，使mn，n有4种选择；第二类：m＝4时，使mn，n有3种选择；第三类：m＝3时，使mn，n有2种选择；第四类：m＝2时，使mn，n有1种选择．由分类加法计数原理，符合条件的椭圆共有10个．答案：10考点1分类加法计数原理(自主演练)1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有()A．50个B．45个C．36个D．35个解析：由题意知，满足条件的十位上的数字可以是1，2，3，4，5，6，7，8，共8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．答案：C2．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为()A．3B．4C．6D．8解析：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，所以所求的数列共有2(2＋1＋1)＝8个．答案：D3．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_______．解析：(1)当a＝0，有x＝－b2，b＝－1，0，1，2，有4种可能；(2)当a≠0时，则Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，①若a＝－1时，b＝－1，0，1，2，有4种不同的选法；②若a＝1时，b＝－1，0，1，有3种可能；③若a＝2时，b＝－1，0，有2种可能．所以有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13(个)．答案：13分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置：1．根据题目特点恰当选择一个分类标准．2．分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复．3．分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．考点2分步乘法计数原理(讲练互动)[典例1](2016·全国卷Ⅱ)如图所示，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9解析：从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条)．答案：B[典例2]有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．解析：每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．答案：1201．利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．2．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．(2020·衡水中学检测)某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包中的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同，员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为()A．9B．12C．18D．24解析：根据题意，若员工甲直到第4次才获奖．则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有23－2＝6种情况，则他获得奖次的不同情形种数为3×6＝18.答案：C考点3两个计数原理的综合应用(多维探究)角度与数字有关的问题[典例1](2017·天津卷)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．解析：当不含偶数时，有A45＝120个，当含有一个偶数时，有C14C35A44＝960个，所以这样的四位数共有1080个．答案：1080角度涂色、种植问题[典例2]如图所示，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．400种B．460种C．480种D．496种解析：完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法．由分类加法计数原理可知，不同的涂法共有360＋120＝480(种)．答案：C角度与几何有关的问题[典例3]如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A．48B．18C．24D．36解析：分类讨论：第一类，对于第一条棱，都可以与两个面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第二类，对于第一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．答案：D1．在综合应用两个原理解决问题时应注意：(1)一般是先分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原理．(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．2．解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成．1．(角度1)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279解析：0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．答案：B2．(角度2)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A．24B．48C．72D．96解析：分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，所以有4×3×2＝24种涂法．②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，所以有4×3×2×2＝48种涂法．故共有24＋48＝72种涂色方法．答案：C3．(角度3)如图所示，在联接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．第二类，有两条公共边的三角形共有8个．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．答案：40