2021高考数学一轮复习 第七章 立体几何与空间向量 第4节 空间直线、平面的垂直课件

第七章立体几何与空间向量第4节空间直线、平面的垂直课程标准考情索引核心素养1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中直线、平面垂直的判定和性质定理．2.能运用直线、平面垂直的判定与性质定理和已获得的结论证明一些空间图形中垂直关系的简单命题.2019·全国卷Ⅱ，T17(1)2019·全国卷Ⅲ，T19(1)2018·全国卷Ⅲ，T192018·全国卷Ⅰ，T182018·全国卷Ⅱ，T201.逻辑推理2.直观想象3.数学运算1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义．如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理．定理文字语言图形表示符号表示判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α性质定理两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行a⊥αb⊥α⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°．(3)范围：0，π2.3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义．两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理.定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．三个重要结论．(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．2．使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行．()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()解析：(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误．(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误．(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误．(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A必修2·习题改编)下列命题中不正确的是()A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ解析：根据面面垂直的性质，A不正确．直线l∥平面β或l⊂β或直线l与β相交．答案：A3．(人A必修2·习题改编)如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如图2折叠．沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且EF∥DC，MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF.(2)求三棱锥M-CDE的体积．(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，所以MD⊥平面PCD，因为CF⊂平面PCD，所以MD⊥CF.因为CF⊥MF，MD，MF⊂平面MDF，MD∩MF＝M，所以CF⊥平面MDF.(2)解：因为CF⊥平面MDF，所以CF⊥DF，又易知∠PCD＝60°，所以∠CDF＝30°，从而CF＝12CD＝12，因为EF∥DC，所以DEDP＝CFCP，即DE3＝122，所以DE＝34，所以PE＝334，所以S△CDE＝12CD·DE＝38，MD＝ME2－DE2＝PE2－DE2＝3342－342＝62，所以VM-CDE＝13S△CDE·MD＝13×38×62＝216.[典题体验]4．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案：C5．(2020·衡水模拟)已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，在下列命题中：①若m⊥n，l⊥n，则m∥l；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β；③若m∥l，m⊥α，l⊂β，则α⊥β；④若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β.其中正确命题的序号为()A．①③B．③④C．②④D．①③④解析：如正方体同一个顶点的三条棱，满足①的条件，但三条棱都相交，故①错；如图：α∥β，故②错；因为m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故③正确；由面面垂直的性质知，④正确．故正确的命题为③④.答案：B6．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________．解析：如图，过点P作PO⊥平面ABC于点O，则PO为P到平面ABC的距离．再过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝（3）2－12＝2.答案：2考点1线面垂直的判定与性质(讲练互动)[典例](2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．证明：(1)因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝23.连接OB.因为AB＝BC＝22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝12AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，知PO⊥平面ABC.(2)解：如图，作CH⊥OM，垂足为点H，又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°，所以OM＝253，CH＝OC·MC·sin∠ACBOM＝455.所以点C到平面POM的距离为455.1．证明直线和平面垂直的常用方法：(1)判定定理．(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)面面垂直的性质．2．证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又AE∩AB＝A，所以PD⊥平面ABE.考点2面面垂直的判定与性质(讲练互动)[典例](2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥Q­ABP的体积．(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解：由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝32.又BP＝DQ＝23DA，所以BP＝22.如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，则QE13DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱锥Q­ABP的体积为VQ­ABP＝13×S△ABP×QE＝13×12×3×22sin45°×1＝1.1．判定面面垂直的方法主要是：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(α⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．2．已知平面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧面PAD是正三角形，AD⊥CD，AD＝DC＝2BC＝2，PC＝22.求证：平面PAD⊥平面ABCD.证明：因为PC＝22，AD＝DC＝PD＝2，所以PD2＋DC2＝PC2，所以△PCD是直角三角形，所以CD⊥PD.又因为CD⊥AD，PD∩AD＝D，所以CD⊥平面APD.因为CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.考点3平行与垂直的综合问题(多维探究)角度平行与垂直关系的证明[典例1](2019·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC.求证：(1)A1B1∥平面DEC1；(2)BE⊥C1E.证明：(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.(2)因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.1．(1)在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．(2)如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．2．熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．(2019·天津卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面P