2021高考数学一轮复习 第七章 立体几何与空间向量 第3节 空间直线、平面的平行课件

第七章立体几何与空间向量第3节空间直线、平面的平行课程标准考情索引核心素养1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．2.理解掌握线面、面面平行的性质定理并能证明．3.能借助几何直观归纳线面平行、面面平行的判定定理．4.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.2019·全国卷Ⅰ，T182019·全国卷Ⅱ，T72018·浙江卷，T61.逻辑推理2.直观想象3.数学运算1．直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义．直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．(2)判定定理与性质定理.定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义．没有公共点的两个平面叫做平行平面．(2)判定定理与性质定理.定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b1．判断平行关系的三个重要结论．(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.2．线线、线面、面面平行间的转化．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．()(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．()(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．()(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．()(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√[教材衍化]2．(人A必修2·习题改编)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.答案：D3．(人A必修2·习题改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，下列结论中，正确的是________(只填序号)．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.答案：①②④[典题体验]4．(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析：若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，反之则不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件．根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．答案：B5．(2020·长沙模拟)设a，b，c表示不同的直线，α，β表示不同的平面，给出下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根据a∥b，b∥α，可以推出a∥α或a⊂α，故②是假命题；对于③，根据a∥α，b∥α，可以推出a与b平行、相交或异面，故③是假命题；对于④，根据a⊂α，b⊂β，α∥β，可以推出a∥b或a与b异面，故④是假命题．所以真命题的个数是1.故选A.答案：A6．(2020·宜昌模拟)在正四面体S-ABC中，M、E、F分别是SA、AB、AC的中点，当点P在线段EF上运动时，直线MP与平面SBC的位置关系是________．解析：连接ME，MF，因为M、E、F分别是SA、AB、AC的中点，所以ME∥SB，MF∥SC，而ME∩MF＝M，SB∩SC＝S，ME，MF⊂平面MEF，SB，SC⊂平面SBC，所以平面MEF∥平面SBC，又点P在线段EF上，即MP在平面MEF内，所以由面面平行的性质定理可得MP∥平面SBC，故直线MP与平面SBC的位置关系是平行．答案：平行考点1与平行相关命题的真假判断(自主演练)1．已知E，F，H，G分别是四面体ABCD棱AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝EB，BF＝FC，CH＝2HD，AG＝2GD，则下列说法错误的是()A．AC∥平面EFHB．BD∥平面EFGC．直线EG，FH，BD相交于同一点D．FE∥GH解析：A中，由EA＝EB，BF＝FC，可得EF∥AC，故AC∥平面EFH，选项A正确．B中，因为BD和EG不平行，而且两条直线在同一平面内，所以得到两直线延长后相交，可得到BD与平面EFG是相交的关系，选项B错误．C中，由A选项，结合平行线的传递性得到GH∥EF，则E，F，G，H四点共面，延长EG和FH相交于点M，则点M在FH的延长线上，故在平面BCD内，同理点M也在平面ABD内，故点M应该在两个平面的交线上，即BD的延长线上，故选项C正确．选项D正确．答案：B2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线()A．有无数条B．有2条C．有1条D．不存在解析：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行．答案：A3．下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是()解析：在B中，如图，连接MN，PN，因为A，B，C为正方体所在棱的中点，所以AB∥MN，AC∥PN，因为MN∥DE，PN∥EF，所以AB∥DE，AC∥EF，因为AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，AB、AC⊂平面ABC，DE、EF⊂平面DEF，所以平面ABC∥平面DEF.答案：B1．判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．考点2直线与平面平行的判定与性质(多维探究)角度直线与平面平行的判定[典例1]如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．证明：(1)AD1∥平面BDC1；(2)BD∥平面AB1D1.证明：(1)因为D1，D分别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，所以C1D1DA，所以四边形ADC1D1为平行四边形，所以AD1∥C1D，又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1.(2)连接D1D，因为BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，所以BB1∥D1D，又因为D1，D分别为A1C1，AC的中点，所以BB1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以BD∥平面AB1D1.1．利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线．2．利用面面平行的性质证明，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形．如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：GH∥平面PAD.证明：如图，连接AC交BD于点O，连接MO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．又M是PC的中点，所以AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，所以PA∥GH.因为GH⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.角度线面平行性质定理的应用[典例2]如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面AB-CD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理，可证EF∥BC.因此GH∥EF.(2)解：如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK，因为PA＝PC，点O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD⊂底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，所以GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，从而KB＝14DB＝12OB，则点K为OB的中点．再由PO∥GK，得GK＝12PO，即G是PB的中点，且GH＝12BC＝4.由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6.所以GK＝3，故S四边形GEFH＝（GH＋EF）2·GK＝（4＋8）×32＝18.应用线面平行的性质证线线平行的关键：1．明确已知直线和平面．2．找出或者做出过已知直线与已知平面平行的平面．3．确定两平面的交线与已知直线平行．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.证明：FG∥平面AA1B1B.证明：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又因为CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG，而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.考点3面面平行的判定与性质(典例迁移)[典例](经典母题)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明：(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1AB，所以A1GEB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG