2021高考数学一轮复习 第七章 立体几何与空间向量 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件

第七章立体几何与空间向量第2节空间点、直线、平面之间的位置关系课程标准考情索引核心素养理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.2018·全国卷Ⅰ，T122018·全国卷Ⅰ，T182018·全国卷Ⅱ，T92017·全国卷Ⅲ，T161.直观想象2.数学运算3.逻辑推理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系项目直线与直线直线与平面平面与平面图形语言平行关系符号语言a∥ba∥αα∥β图形语言相交关系符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l图形语言—独有关系符号语言a，b是异面直线a⊂α—3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．(2)范围：0，π2．1．异面直线的判定定理．一条直线与一个平面相交，则此直线与平面内不经过该交点的直线互为异面直线．2．唯一性的几个结论．(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．()解析：(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误．(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误．(4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A必修2·习题改编)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：C3．(人A必修2·习题改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则①当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；②当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．解析：①因为四边形EFGH为菱形，所以EF＝EH，故AC＝BD.②因为四边形EFGH为正方形，所以EF＝EH且EF⊥EH，因为EF12AC，EH12BD，所以AC＝BD且AC⊥BD.答案：①AC＝BD②AC＝BD且AC⊥BD[典题体验]4．(多选题)(2020·烟台模拟)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题错误的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解析：若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，所以l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，所以l至少与l1，l2中的一条相交．答案：ABC5．(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22B.32C.52D.72解析：如图，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB.在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝5，则tan∠EAB＝BEAB＝52，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为52.答案：C6．(2020·益阳、湘潭调研)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()A．①③B．②③C．②④D．②③④解析：由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN异面．答案：C考点1平面的基本性质及应用(讲练互动)[典例]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.又A1B∥D1C，所以EF∥CD1，所以E、C、D1、F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF＜CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点．1．证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．3．证明三线共点问题常用的方法：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC12AD，BE12FA，G，H分别为FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？证明：(1)由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH12AD.又BC12AD，所以GHBC，所以四边形BCHG为平行四边形．(2)解：因为BE12AF，G为FA的中点，所以BEFG，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.由(1)知BGCH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面．又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．考点2空间两直线的位置关系(自主演练)1．(2020·东北三省三校联考)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行解析：依题意，m∩α＝A，n⊂α.所以m与n异面、相交、垂直，但一定不会平行．答案：D2．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：依题意可得直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．答案：D3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确结论的序号为________解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN与MB1是异面直线．同理AM与DD1也是异面直线．答案：③④考点3异面直线所成的角(讲练互动)[典例1](2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.22解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，3)，B1(1，1，3)，所以AD1→＝(－1，0，3)，DB1→＝(1，1，3)．则cos〈AD1→，DB1→〉＝AD1→·DB1→|AD1→|·|DB1→|＝225＝55.故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55.答案：C[典例2](2020·东莞模拟)在正四棱锥P-ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP.因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC中点，又因为E为PC中点，所以OE∥PA，且OE＝12PA＝1，所以∠OEB(或其补角)是异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，O为正方形ABCD的中心，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在平面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与平面ABCD所成的角，即∠PAO＝60°，因为PA＝2，所以OA＝OB＝1.因为PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，四边形ABCD为正方形，所以PO⊥BD，AC⊥BD，又因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，因为OE⊂平面PAC，所以BD⊥OE，所以△BOE为直角三角形，因为OB＝OE＝1，所以∠OEB＝45°，即异面直线PA与BE所成的角为45°.答案：C1．综合法求异面直线所成角的步骤：(1)作：通过作平行线得到相交直线．(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)．(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的解．2．向量法：利用向量的内积求所成角的余弦值．(2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45解析：连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，则cos∠A1BC1＝A1B2＋BC21－A1C212×A1B×BC1＝45.故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45.答案：D