2021高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和课件 理

【知识重温】一、必记6个知识点1．等比数列及其相关概念等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的①________的比都等于②_____________公比等比数列定义中的③______叫做等比数列的公比，常用字母q(q≠0)表示公式表示{an}为等比数列⇔④______(n∈N*，q为非零常数)等比中项如果a，G，b成等比数列，则G叫做a，b的等比中项，此时⑤______前一项同一个常数常数an＋1an＝qG2＝ab2.等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则其通项公式为⑥_______________(n∈N*)．3．等比数列的前n项和公式(1)当公比q＝1时，Sn＝⑦_____.(2)当公比q≠1时，Sn＝⑧__________＝⑨__________.an＝a1qn－1na1a11－qn1－qa1－anq1－q4．项的性质(1)an＝amqn－m.(2)am－kam＋k＝a2m(mk，m，k∈N*)．(3)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝⑩__________＝a2k.(4)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，{|an|}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列．(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，则an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.ap·aq5．和的性质(1)Sm＋n＝Sn＋qnSm.(2)若等比数列{an}共2k(k∈N*)项，则S偶S奇＝q.(3)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，⑪__________仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，⑫__________不一定构成等比数列．S3n－S2nS3n－S2n6．等比数列{an}的单调性(1)满足a10，q1或a10，0q1时，{an}是⑬_____数列．(2)满足a10，0q1或a10，q1时，{an}是⑭_____数列．(3)当a1≠0，q＝1时，{an}为⑮_____数列．(4)当q0时，{an}为摆动数列．递增递减常二、必明2个易误点1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.()(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．()(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．()××××2．[2020·湖南长沙模拟]设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an解析：因为a1＝1，公比q＝23，所以an＝23n－1，Sn＝a11－qn1－q＝31－23n＝3－223n－1＝3－2an，故选D.答案：D3．[2020·湘潭模拟]等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝18，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或－12解析：∵S3＝18，a3＝6，∴a1＋a2＝a3q2(1＋q)＝12，故2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12.答案：C4．[2020·东北三省联合模拟]等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前9项和是()A．9B．10C．81D．90解析：设等差数列的公差为d，由题意可得a22＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以数列{an}的前9项和S9＝9a1＋9×82d＝9×1＋4×9×2＝81，故选C.答案：C5．[2017·北京卷]若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则a2b2＝________.解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.∵a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，∴－1＋3d＝8，－1·q3＝8，∴d＝3，q＝－2.∴a2＝2，b2＝2.∴a2b2＝22＝1.答案：1考点一等比数列的基本运算[自主练透型]1．[2019·全国卷Ⅲ]已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2解析：设等比数列的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得a1q4＝3a1q2＋4a1，∴q2＝4，又∵an0，∴q＝2，由S4＝a11－241－2＝15，解得a1＝1.∴a3＝a1·q2＝4，故选C.答案：C2．[2019·全国卷Ⅰ]记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝13，a24＝a6，则S5＝________.解析：通解设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a11－q51－q＝13×1－351－3＝1213.优解设等比数列{an}的公比为q，因此a24＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a11－q51－q＝13×1－351－3＝1213.答案：12133．[2020·济南市模拟]已知正项等比数列{an}满足a3＝1，a5与32a4的等差中项为12，则a1的值为()A．4B．2C.12D.14解析：由题意知2×12＝a5＋32a4，即3a4＋2a5＝2.设{an}的公比为q(q0)，则由a3＝1，得3q＋2q2＝2，解得q＝12或q＝－2(舍去)，所以a1＝a3q2＝4.答案：A悟·技法等比数列的基本运算方法(1)等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行．(2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出这三个条件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”问题．[注意]等比数列求和要讨论q＝1和q≠1两种情况.考点二等比数列的判定与证明[自主练透型][2019·全国卷Ⅱ]已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．解析：(1)由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝12(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，an＋bn＝12n－1，an－bn＝2n－1.所以an＝12[(an＋bn)＋(an－bn)]＝12n＋n－12，bn＝12[(an＋bn)－(an－bn)]＝12n－n＋12.悟·技法等比数列的4种常用判定方法定义法若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列[提醒](1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.考点三等比数列的性质及其应用[互动讲练型][例](1)[2020·太原市高三模拟]已知等比数列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，则a1＝()A.12B．－12C．－29D．－19解析：(1)通解设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则由a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，得a1q·a1q4·a1q7＝－8，a11－q31－q＝a1q＋3a1，解得q2＝2，a1＝－12，故选B.优解设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，因为S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以a3a1＝q2＝2.因为a2a5a8＝a35＝－8，所以a5＝－2，即a1q4＝－2，所以4a1＝－2，所以a1＝－12，故选B.答案：(1)B(2)[2020·湖北荆州模拟]已知等比数列{an}的公比不为－1，设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12＝7S4，则S8S4＝________.解析：(2)由题意可知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，又S12＝7S4，∴(S8－S4)2＝S4·(7S4－S8)，可得S28－6S24－S8S4＝0，两边都除以S24，得S8S42－S8S4－6＝0，解得S8S4＝3或－2，又S8S4＝1＋q4(q为{an}的公比)，∴S8S41，∴S8S4＝3.答案：(2)3悟·技法1.掌握运用等比数列性质解题的2个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：①若{an}是等比数列，且an0，则{logaan}(a0且a≠1)是以logaa1为首项，logaq为公差的等差数列．②若公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.2．牢记与等比数列前n项和Sn相关的几个结论(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为q.①若共有2n项，则S偶:S奇＝q；②若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝a1＋a2n＋1q1＋q(q≠1且q≠－1)，S奇－a1S偶＝q.(2)分段求和：Sn＋m＝Sn＋qnSm⇔qn＝Sn＋m－SnSm(q为公比).[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2020·甘肃天水二中月考]已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝an＋1an，若b10b11＝2，则a21＝()A．29B．210C．211D．212解析：∵b10b11＝2，∴b1·b2·…·b10·b11·…·b19·b20＝210，又bn＝an＋1an，∴a2a1·a3a2·…·a20a19·a21a20＝210，∴a21a1＝210，又a1＝2，∴a21＝211，故选C项．答案：C2．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1＝()A．11B．12C．13D．14解析：设数列{an}的公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇、S偶，由题意知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以q＝S偶S奇＝13.又a1·(a1q)(a1q2)＝64.所以a31q3＝64，故a1＝12.答案：B3．[2020·长沙模拟]已知等比数列{an}满足a4＋a6a1＋a3＝18，a5＝4，记等比数列{an}的前n项积为Tn，则当Tn取最大值时，n＝()A．4或5B．5或6C．6或7D．7或8解析：解法一设数列{an}的公比