2021高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法课件 理

【知识重温】一、必记5个知识点1．数列的有关概念概念含义数列按照①__________排列的一列数数列的项数列中的②__________数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式③__________表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝④____________________叫做数列的前n项和一定顺序每一个数an＝f(n)a1＋a2＋…＋an2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点⑤__________画在平面直角坐标系中通项公式把数列的通项使用⑥_____表示的方法公式法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法(n，an)公式3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝⑦_____，n＝1，⑧__________，n≥2.S1Sn－Sn－14．数列的分类递增数列∀n∈N*，⑨________递减数列∀n∈N*，⑩________常数列∀n∈N*，an＋1＝an单调性摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝anan＋1anan＋1an5.常见数列的通项公式①自然数列：(1,2,3,4，…)an＝n；②奇数列：(1,3,5,7，…)an＝2n－1；③偶数列：(2,4,6,8，…)an＝2n；④平方数列：(1,4,9,16，…)an＝n2；⑤2的乘方数列：(2,4,8,16，…)an＝2n；⑥倒数列：1，12，13，14，…an＝1n；⑦乘积数列：(2,6,12,20，…)可化为(1×2,2×3,3×4,4×5，…)an＝n(n＋1)；⑧重复数串列：(9,99,999,9999，…)an＝10n－1；⑨(0.9,0.99,0.999,0.9999，…)an＝1－10－n；⑩符号调整数列：(－1,1，－1,1，…)an＝(－1)n.二、必明2个易误点1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．()(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()√××√2．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋2n(n≥2)，则a7＝()A．53B．54C．55D．109解析：a2＝a1＋2×2，a3＝a2＋2×3，……，a7＝a6＋2×7，即a7＝a1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55.故选C.答案：C3．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋－1nan－1(n≥2)，则a5＝()A.32B.53C.85D.23解析：a1＝1，a2＝1＋1a1＝2，a3＝1－1a2＝12，a4＝1＋1a3＝3，a5＝1－1a4＝23.答案：D4．已知数列n2n2＋1，则0.98是它的第________项．解析：∵n2n2＋1＝0.98＝4950，∴n＝7.答案：7考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式[自主练透型]1．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝0，n为奇数，1，n为偶数，②an＝1＋－1n2，③an＝1＋cosnπ2，④an＝sinnπ2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④解析：检验知①②③都是所给数列的通项公式．答案：A2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)(易错题)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9999，….解析：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an＝2(n＋1)，n∈N*.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×1nn＋1，n∈N*.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝a，n为奇数，b，n为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1，1000－1,10000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，n∈N*.悟·技法由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整.考点二由an与Sn的关系求通项an[分层深化型][例1](1)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－3B．an＝2n＋3C．an＝1，n＝1，2n－3，n≥2D．an＝1，n＝1，2n＋3，n≥2解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故通项公式为选项C.答案：(1)C(2)[2018·全国卷Ⅰ]记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.解析：(2)∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1.当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{an}是首项a1为－1，公比q为2的等比数列，∴Sn＝a11－qn1－q＝－11－2n1－2＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.答案：(2)－63悟·技法已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写.[同类练]——(着眼于触类旁通)1．已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.解析：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，所以an＝6，n＝1，2·3n－1＋2，n≥2.[变式练]——(着眼于举一反三)2．[2020·河北衡水中学摸底]已知数列{an}，若数列{3n－1an}的前n项和Tn＝15×6n－15，则a5的值为()A.815B.165C．16D．32解析：∵Tn＝15×6n－15，∴n≥2时，3n－1an＝Tn－Tn－1＝15×6n－15×6n－1＝6n－1，即an＝2n－1(n≥2)，∴a5＝16，故选C项．优解∵Tn＝15×6n－15，∴34a5＝T5－T4＝65－15－64－15＝64，∴a5＝24＝16，故选C项．答案：C3．[2020·合肥检测]已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2018＝()A．22018－1B．32018－6C.122018－72D.132018－103解析：因为a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3⇒a1＝－3.当n≥2时，3Sn＝2an－3n,3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以数列{an＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n，则a2018＝22018－1.答案：A[拓展练]——(着眼于迁移应用)4．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.解析：由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，两边同时除以SnSn＋1得1Sn－1Sn＋1＝1，即1Sn＋1－1Sn＝－1.又1S1＝－1，所以1Sn是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，即Sn＝－1n.答案：－1n5．[2017·全国卷Ⅲ改编]设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.则an＝________.解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2.所以an＝22n－1(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足上式，从而{an}的通项公式为an＝22n－1(n∈N*)．答案：22n－1(n∈N*)．考点三由递推关系式求数列的通项公式[互动讲练型]考向一：形如an＋1＝an＋f(n)，求an[例2]设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．解析：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝n－12＋n2＝n2＋n－22.又∵a1＝1，∴an＝n2＋n2(n≥2)．∵当n＝1时也满足此式，∴an＝n2＋n2(n∈N*)．考向二：形如an＋1＝anf(n)，求an[例3]在数列{an}中，a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．解析：∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，an－2＝n－3n－2an－3，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝1n(n∈N*)．考向三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an[例4]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．解析：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．考向四：形如an＋1＝AanBan＋A(A，B为常数)，求an.[例5]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.解析：∵an＋1＝2anan＋2，∴1an＋1＝an＋22an＝1an＋12，∴1an＋1－1an＝12.又a1＝1，∴1a1＝1，∴1an是以1为首项，12为公差的等差数列，∴1an＝1＋(n－1)×12＝n＋12，∴an＝2n＋1.答案：2n＋1悟·技法典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an＋1＝an＋f(n)累加法a1＝1，an＋1＝an＋2nan＋1＝anf(n)累乘法a1＝1，an＋1an＝