2021高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第3节 平面向量的数量积及其应用课件

第六章平面向量与复数第3节平面向量的数量积及其应用课程标准考情索引核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2019·全国卷Ⅰ，T72019·全国卷Ⅲ，T132018·全国卷Ⅱ，T42017·全国卷Ⅰ，T132017·全国卷Ⅱ，T121.数学运算2.逻辑推理3.直观想象1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，若θ＝90°时，则a与b垂直．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内积)a·b＝|a||b|cosθ．规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.(3)夹角：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a、b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a、b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式．(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．()(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()解析：(1)两个向量夹角的范围是[0，π]．(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等．答案：(1)×(2)√(3)√(4)×[教材衍化]2．(人A必修4·习题改编)设a，b是非零向量．“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cosθ＝|a|·|b|，所以cosθ＝1，即a与b的夹角为0°，故a∥b.当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°，所以a·b＝|a|·|b|cosθ＝±|a|·|b|，所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分不必要条件．答案：A3．(人A必修4·习题改编)在圆O中，长度为2的弦AB不经过圆心，则AO→·AB→的值为________．解析：设向量AO→，AB→的夹角为θ，则AO→·AB→＝|AO→||AB→|·cosθ＝|AO→|cosθ·|AB→|＝12|AB→|·|AB→|＝12×(2)2＝1.答案：1[典题体验]4．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．3解析：因为BC→＝AC→－AB→＝(1，t－3)，且|BC→|＝1，所以t＝3，AB→·BC→＝2＋0＝2，故选C.答案：C5．(2020·云南11校跨区调研)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1，1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于()A．13＋62B．25C.30D.34解析：依题意得a2＝2，a·b＝2×2×cos45°＝2，|3a＋b|＝（3a＋b）2＝9a2＋6a·b＋b2＝18＋12＋4＝34.答案：D6．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________．解析：由题意得a＋b＝(m－1，3)，因为a＋b与a垂直，所以(a＋b)·a＝0，所以－(m－1)＋2×3＝0，解得m＝7.答案：7考点1平面向量的数量积(自主演练)1．已知向量a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影为()A.13B.135C.655D.65解析：由已知，得a在b方向上的投影为|a|cosθ＝a·b|b|＝－8＋2165＝655(θ为a与b的夹角)．答案：C2．(2020·皖南八校三模)已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，则(a＋2b)·a＝________．解析：因为|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a|·|b|cos45°＝1＋2.答案：1＋23．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.答案：B4．(2018·天津卷)在如图所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM→＝2MA→，CN→＝2NA→，则BC→·OM→的值为()A．－15B．－9C．－6D．0解析：连接OA.因为BC→＝AC→－AB→＝3AN→－3AM→＝3(ON→－OA→)－3(OM→－OA→)＝3(ON→－OM→)，所以BC→·OM→＝3(ON→－OM→)·OM→＝3(ON→·OM→－|OM→|2)＝3×(2×1×cos120°－12)＝3×(－2)＝－6.答案：C在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现．考点2平面向量数量积的性质(多维探究)角度长度问题[典例1]已知向量OA→，OB→满足|OA→|＝|OB→|＝2，OA→·OB→＝2，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，且λ＋μ＝1，则|OC→|的最小值为()A．1B.52C.2D.3解析：|OC→|2＝(λOA→＋μOB→)2＝[λOA→＋(1－λ)OB→]2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)OA→·OB→，因为OA→·OB→＝2，所以|OC→|2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·2＝4λ2－4λ＋4＝4λ－122＋3，当λ＝12时，|OC→|取得最小值3.答案：D1．利用数量积求解向量模的问题常用的公式：(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a；(2)|a±b|＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.2．最值问题是在变化中求得一个特殊情况，在此情况下求解目标达到最值的问题，因此函数方法是最基本的方法之一．角度夹角问题[典例2](2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos〈a，c〉＝________．解析：因为a·c＝a·(2a－5b)＝2a2＝2，c2＝(2a－5b)2＝4a2＋5b2＝9，所以cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝21×3＝23.答案：231．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系．2．若已知a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，则cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.注意：〈a，b〉∈[0，π]．角度垂直问题[典例3]已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－92B．0C．3D.152解析：因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.答案：C两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.该充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为可视零向量与任意向量垂直．1．(角度1)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A．6B．36C．23D．12解析：因为a＝(2，0)，所以|a|＝2.又|b|＝1，向量a与向量b的夹角为60°，所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝23.答案：C2．(角度2)(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝|a|·|b|cos〈a，b〉－|b|2＝0.又因为|a|＝2|b|，所以cos〈a，b〉＝|b|2|a||b|＝12，所以a与b的夹角为π3.答案：B3．(角度2)(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，|3e1－e2|＝（3e1－e2）2＝3e21－23e1·e2＋e22＝3－0＋1＝2.同理|e1＋λe2|＝1＋λ2.所以cos60°＝（3e1－e2）·（e1＋λe2）|3e1－e2||e1＋λe2|＝3e21＋（3λ－1）e1·e2－λe2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.答案：334．(角度3)(2018·北京卷)设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________．解析：因为a＝(1，0)，b＝(－1，m)，所以a2＝1，a·b＝－1，由a⊥(ma－b)得a·(ma－b)＝0，即ma2－a·b＝0.所以m－(－1)＝0，所以m＝－1.答案：－1考点3平面向量的综合应用(多维探究)角度平面向量在几何中的应用[典例1](2020·永州二模)在△ABC中，AB＝2AC＝6，BA→·BC→＝BA→2，点P是△ABC所在平面内一点，则当PA→2＋PB→2＋PC→2取得最小值时，AP→·BC→＝()A.272B．－272C．9D．－9解析：因为BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|·cosB＝|BA→|2，所以|BC→|·cosB＝|BA→|＝6，所以CA→⊥AB→，即A＝π2，以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B(6，0)，C(0，3)，设点P(x，y)，则PA→2＋PB→2＋PC→2＝x2＋y2＋(x－6)2＋y2＋x2＋(y－3)2＝3x2－12x＋3y2－6y＋45＝3[(x－2)2＋(y－1)2＋10]．所以当x＝2，且y＝1时，PA→2＋PB→2＋PC→2取得最小值，此时AP→·BC→＝(2，1)·(－6，3)＝－9.答案：D以平面几何为载体的两种向量运算基本解法：1．基向量法：恰当选择一组基底，利用三角形或平行四边形法则、向量之间的联系，结合共线定理、平面向量的基本定理求解．2．坐标法：如果图形比较规则，可建立平面坐标系，把有关点与向量用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．角度平面向量与三角函数的综合[典例2]已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)