2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 曲线与方程课件 理

【知识重温】一、必记3个知识点1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是①_______________．(2)以这个方程的解为坐标的点都是②__________．那么这个方程叫做③__________，这条曲线叫做④__________．这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．3．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的⑤________，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组⑥________，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的⑦________条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．公共解无解充要二、必明2个易误点1．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．2．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()√×××2．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线左边一支C．一条射线D．双曲线右边一支解析：因为|PM|－|PN|＝|MN|＝4，所以动点P的轨迹是以N(2,0)为端点向右的一条射线．答案：C3．方程x＝1－4y2所表示的曲线是()A．双曲线的一部分B．椭圆的一部分C．圆的一部分D．直线的一部分解析：x＝1－4y2两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．答案：B4．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，OM→＝35OA→＋25OB→，则点M的轨迹方程为()A.x29＋y24＝1B.y29＋x24＝1C.x225＋y29＝1D.y225＋x29＝1解析：设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)，由OM→＝35OA→＋25OB→，得(x，y)＝35(x0,0)＋25(0，y0)，则x＝35x0，y＝25y0，解得x0＝53x，y0＝52y，由|AB|＝5，得53x2＋52y2＝25，化简得x29＋y24＝1.答案：A5．[2020·教材习题改编]和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为____________________．解析：设点的坐标为(x，y)，由题意知(x－02＋y－02)2＋(x－c2＋y－02)2＝c，即x2＋y2＋(x－c)2＋y2＝c，即2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0.答案：2x2＋2y2－2cx＋c2－c＝0考点一直接法求轨迹方程[自主练透型]1．[2020·杭州调研]已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP→·QF→＝FP→·FQ→，则动点P的轨迹C的方程为()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4x解析：设点P(x，y)，则Q(x，－1)．∵QP→·QF→＝FP→·FQ→，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.答案：A2．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析：解法一设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，∵(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．解法二设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴PM⊥PN，∴PM→·PN→＝0，∴(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝0，整理得，x2＋y2＝4.∵M、N、P不共线，∴x≠±2.∴轨迹方程为x2＋y2＝4.(x≠±2)答案：D悟·技法直接法求轨迹方程的方法在不能确定轨迹形状时，要根据题设条件，通过“建(系)、设(点)、限(条件)、代(代入坐标)、化(化简与证明)”的步骤求轨迹方程，关键是把位置关系(如垂直、平行、距离等)转化为坐标关系.考点二定义法求轨迹方程[互动讲练型][例1]已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．解析：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2).悟·技法定义法求轨迹方程的解题策略(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制(如变式练1).[变式练]——(着眼于举一反三)1．本例中圆M，N方程分别变为“圆M：(x＋4)2＋y2＝2；圆N：(x－4)2＋y2＝2”，其余条件不变，求C的方程．解析：设动圆P的半径为r，∴|PM|＝r＋2，|PN|＝r－2.∴|PM|－|PN|＝22，又M(－4,0)，N(4,0)，∴|MN|＝8.∴22＜|MN|.由双曲线定义知，P点轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴方程为x22－y214＝1(x≥2)．2．若本例中的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为________．解析：因为圆M与圆N相内切，设其切点为A，又因为动圆P与圆M、圆N都外切，所以动圆P的圆心在MN的连线上，且经过点A，因此动点P的轨迹是射线AM的反向延长线(不含切点A)，其方程为：y＝0(x－2)．答案：y＝0(x－2)考点三代入法(相关点法)求轨迹方程[互动讲练型][例2][2017·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP→＝2NM→.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP→·PQ→＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP→＝(x－x0，y)，NM→＝(0，y0)．由NP→＝2NM→得x0＝x，y0＝22y.因为M(x0，y0)在C上，所以x22＋y22＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ→＝(－3，t)，PF→＝(－1－m，－n)，OQ→·PF→＝3＋3m－tn，OP→＝(m，n)，PQ→＝(－3－m，t－n)．由OP→·PQ→＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ→·PF→＝0，即OQ→⊥PF→.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.悟·技法代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征是：点P的运动与点Q的运动相关，且点Q的运动有规律(有方程)，只需将点P的坐标转移到点Q的方程中，整理可得点P的轨迹方程.[变式练]——(着眼于举一反三)3．[2020·河北石家庄模拟]已知点Q在椭圆C：x216＋y210＝1上，点P满足OQ→＝12(OF1→＋OP→)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为()A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆解析：因为点P满足OQ→＝12(OF1→＋OP→)，所以Q是线段PF1的中点．设P(a，b)，由于F1为椭圆C：x216＋y210＝1的左焦点，则F1(－6，0)，故Qa－62，b2，由点Q在椭圆C：x216＋y210＝1上，则点P的轨迹方程为a－6264＋b240＝1，故点P的轨迹为椭圆．答案：D