2021高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系与距离公式课件 理

【知识重温】一、必记3个知识点1．平行与垂直若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：(1)直线l1∥l2的充要条件是①________________.(2)直线l1⊥l2的充要条件是②________.若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合．若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2.k1＝k2且b1≠b2k1·k2＝－12．两直线相交(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应．(2)相交⇔方程组有③________，交点坐标就是方程组的解．(3)平行⇔方程组④________．(4)重合⇔方程组有⑤________．唯一解无解无数个解3．三种距离(1)两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝⑥____________________.特别地，原点(0,0)与任意一点P(x，y)的距离|OP|＝⑦________.(2)点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝⑧___________.(3)两条平行线的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝⑨________.x1－x22＋y1－y22x2＋y2|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2二、必明2个易误点1．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．【小题热身】1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为|kx0＋b|1＋k2.()(5)两平行直线2x－y＋1＝0,4x－2y＋1＝0间的距离是0.()××√××2．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是()A．(4,1)B．(1,4)C.43，13D.13，43解析：由方程组x＋2y－2＝0，2x＋y－3＝0，得x＝43，y＝13.即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是43，13.答案：C3．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6B.2C．2D．不能确定解析：由kAB＝1，得b－a1＝1，∴b－a＝1.∴|AB|＝5－42＋b－a2＝1＋1＝2.答案：B4．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0解析：因为直线x－2y－2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k＝－2.所以所求直线的方程为y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.故选C.答案：C5．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．解析：由点到直线的距离公式可知|3a＋2＋1|a2＋1＝|－a＋4＋1|a2＋1.解得a＝－4或12.答案：－4或12考点一两条直线的平行与垂直[自主练透型]1．[2020·山东平度一中月考]若直线l1：ax－y＋1＝0与直线l2：2x－2y－1＝0的倾斜角相等，则实数a＝()A．－1B．1C．－2D．2解析：由题意可得两直线平行，∴－2×a－(－1)×2＝0，∴a＝1.故选B.答案：B2．[2020·安徽六安一中模拟]直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝()A．－2B．－4C．－6D．－8解析：由题意可得，－a4×－2－5＝－1，a＋4c－2＝0，2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.∴a＋b＋c＝－4.故选B.答案：B3．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.解析：(1)由题意得m2－8＋n＝0，2m－m－1＝0，解得m＝1，n＝7.即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)．(2)∵l1∥l2，∴m2－16＝0，－m－2n≠0，解得m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2.即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.(3)当且仅当2m＋8m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.又－n8＝－1，∴n＝8.即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.悟·技法由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)考点二距离公式及其应用[互动讲练型][例1](1)若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为()A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)解析：(1)设P(x,5－3x)，则d＝|x－5＋3x－1|12＋－12＝2，化简得|4x－6|＝2，即4x－6＝±2，即x＝1或x＝2，故P(1,2)或(2，－1)．答案：(1)C(2)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为5，求直线l1的方程．解析：(2)∵l1∥l2，∴m2＝8m≠n－1，∴m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2.①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，∴|n＋2|16＋64＝5，解得n＝－22或n＝18.故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0，∴|－n＋2|16＋64＝5，解得n＝－18或n＝22.故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.答案：(2)2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0或2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0悟·技法处理距离问题的3种方法(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求，注意直线方程为一般式．(2)动点到两定点的距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便．(3)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使x，y的系数分别相等.[变式练]——(着眼于举一反三)1．已知P是直线2x－3y＋6＝0上一点，O为坐标原点，且点A的坐标为(－1,1)，若|PO|＝|PA|，则P点的坐标为________．解析：解法一设P(a，b)，则2a－3b＋6＝0，a2＋b2＝a＋12＋b－12，解得a＝3，b＝4.∴P点的坐标为(3,4)．解法二线段OA的中垂线方程为x－y＋1＝0，则由2x－3y＋6＝0，x－y＋1＝0.解得x＝3，y＝4，则P点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．[2019·江苏扬州期末]若直线l1：x－2y＋4＝0与l2：mx－4y＋3＝0平行，则l1，l2间的距离为________．解析：解法一因为两直线平行，所以m4＝12，解得m＝2.在直线x－2y＋4＝0上取一点(0,2)，点(0,2)到直线l2：2x－4y＋3＝0的距离d＝|0－8＋3|22＋－42＝52.解法二因为两直线平行，所以m4＝12，解得m＝2.l1：2x－4y＋8＝0，l2：2x－4y＋3＝0，根据两平行线间的距离公式：d＝|8－3|22＋－42＝52.答案：52考点三对称问题[互动讲练型]考向一：点关于点对称[例2]过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝0考向二：点关于线对称[例3]已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．解析：设A′(x，y)，由已知得y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413.故A′－3313，413.答案：A′－3313，413考向三：线关于线对称[例4]直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是()A．x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由x＋x02－y＋y02＋2＝0，x－x0＝－y－y0，得x0＝y－2，y0＝x＋2，由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.答案：A悟·技法1.中心对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x＝2a－x1y＝2b－y1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称问题的2个类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．(2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.[变式练]——(着眼于举一反三)3．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为________．解析：设A(x，y)为所求直线上的任意一点，则A′(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，即3x－4(－y)＋5＝0，故所求直线方程为3x＋4y＋5＝0.答案：3x＋4y＋5＝04．已知点A(1,3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2,1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________．解析：由题意得线段AB的中点－12，2在直线y＝kx＋b上，故23·k＝－1，－12k＋b＝2，解得k＝－32，b＝54，所以直线方程为y＝－32x＋54.令y＝0，即－32x＋54＝0，解得x＝56，故直线y＝kx＋b在x轴上的截距为56.答案：565．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N