2021高考数学一轮复习 第二章 函数 第8节 函数与方程课件

第二章函数第8节函数与方程课程标准考情索引核心素养1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的联系.2.结合函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理；能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.2019·浙江卷，T92018·全国卷Ⅰ，T92017·全国卷Ⅲ，T111.逻辑推理2.直观想象1．函数的零点(1)函数零点的概念定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2101．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示，所以f(a)·f(b)0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．3．周期函数如果有零点，则必有无数多个零点．[概念思辨]1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)函数f(x)＝lgx的零点是(1，0)．()(2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)0.()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac0时没有零点．()解析：(1)f(x)＝lgx的零点是1，故(1)错．(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错．答案：(1)×(2)×(3)√[教材衍化]2．(人A必修1·习题改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)－4－2147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1，2)B．(2，3)C．(3，4)D．(4，5)解析：由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)0，所以函数在(2，3)内有零点．答案：B3．(人A必修第一册·习题改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：由f′(x)＝ex＋30，得f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1e－30，f(0)＝10，则f(－1)·f(0)0.因此函数f(x)有且只有一个零点．答案：B[典题体验]4．(2020·威海一中检测)函数f(x)＝log8x－13x的一个零点所在的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：因为f(1)＝－130，f(2)＝log82－16＝160，所以f(1)·f(2)0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，且在(1，2)内．答案：B5．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零点个数为()A．2B．3C．4D．5解析：令f(x)＝2sinx－sin2x＝0，得sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，由sinx＝0，得x＝0，π，2π.由cosx＝1，得x＝0，2π，所以f(x)＝0有三个实根0，π，2π.答案：B6．(2020·日照一中月考)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝2x－2x－a在区间(1，2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)0，所以(－a)(4－1－a)0，即a(a－3)0，所以0a3.答案：(0，3)考点1函数零点所在区间的判定(自主演练)1．(2020·保定检测)函数f(x)＝x－412x的零点所在的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：函数f(x)＝x－412x在R上的图象连续不间断，又f(1)＝1－20，f(2)＝2－10，所以f(1)f(2)0.故函数f(x)的零点所在的区间为(1，2)．答案：B2．已知函数f(x)＝1x－a为奇函数，g(x)＝lnx－2f(x)，则函数g(x)的零点所在区间为()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)解析：由函数f(x)＝1x－a为奇函数，可得a＝0，则g(x)＝lnx－2f(x)＝lnx－2x.所以g(2)＝ln2－10，g(3)＝ln3－230，故g(2)·g(3)0.故函数g(x)的零点在区间(2，3)之间．答案：C3．设函数y＝x3与y＝12x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________．解析：设f(x)＝x3－12x－2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝12x－2的图象如图所示．因为f(1)＝1－12－1＝－1＜0，f(2)＝8－120＝7＞0，所以f(1)f(2)＜0，所以x0∈(1，2)．答案：(1，2)1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法．(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)0.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．2．函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断．考点2确定函数零点的个数(讲练互动)[典例1](一题多解)函数f(x)＝x2＋x－2，x≤0，－1＋lnx，x0的零点个数为()A．3B．2C．1D．0解析：法一由f(x)＝0得x≤0，x2＋x－2＝0，或x0，－1＋lnx＝0，解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．法二函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．答案：B[典例2]若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是()A．5B．4C．3D．2解析：由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象(如图所示)，观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．答案：B函数零点个数的判断方法1．直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点．2．零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．3．利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．1．(2020·烟台一中检测)已知函数f(x)＝ln（x－1），x1，2x－1－1，x≤1，则函数f(x)的零点个数为()A．0B．1C．2D．3解析：当x1时，令f(x)＝ln(x－1)＝0，得x＝2.当x≤1时，令f(x)＝2x－1－1＝0，得x＝1.所以函数f(x)的零点为x＝1与x＝2，有2个零点．答案：C2．f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为()A．4B．5C．8D．10解析：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，函数f(x)与y＝|log5x|的图象如图所示，两个图象总共有5个交点，所以函数y＝f(x)－|log5x|共有5个零点．答案：B考点3函数零点的应用(多维探究)角度根据零点个数求参数[典例1](2019·天津卷)已知函数f(x)＝2x，0≤x≤1，1x，x1.若关于x的方程f(x)＝－14x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A.54，94B.54，94C.54，94∪{1}D.54，94∪{1}解析：画出函数y＝f(x)的图象，如图所示．方程f(x)＝－14x＋a的解的个数，即为函数y＝f(x)的图象与直线l：y＝－14x＋a的公共点的个数．当直线l经过点A时，有2＝－14×1＋a，a＝94；当直线l经过点B时，有1＝－14×1＋a，a＝54.由图可知，a∈54，94时，函数y＝f(x)的图象与l恰有两个交点．另外，当直线l与曲线y＝1x，x1相切时，恰有两个公共点，此时a0.联立y＝1x，y＝－14x＋a，得1x＝－14x＋a，即14x2－ax＋1＝0，由Δ＝a2－4×14×1＝0，得a＝1(舍去负根)．综上，a∈54，94∪{1}．答案：D角度由零点的范围求参数的值(范围)[典例2]方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________．解析：令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)0，即(5－k)(10－k)0，解得5k10.又当f(1)＝0时，k＝5.综上知，实数k的取值范围是[5，10)．答案：[5，10)[典例3]已知a，b，c，d都是常数，ab，cd.若f(x)＝2020＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()A．acdbB．adcbC．cdabD．cabd解析：根据题意，设g(x)＝(x－a)(x－b)，则f(x)＝g(x)＋2020，令g(x)＝0，则x＝a或x＝b，则函数g(x)的图象与x轴的交点为(a，0)和(b，0)(如图)．令f(x)＝2020＋(x－a)(x－b)＝0，即g(x)＝－2020，因为f(x)＝2020＋(x－a)(x－b)的零点为c，d，所以g(x)的图象与直线y＝－2020的交点为(c，－2020)和(d，－2020)，则有acdb.答案：A1．已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值．2．已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象(需准确画出两个函数的图象)的交点个数问题，利用图象写出满足条件的参数范围．1．(角度1)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－12B.13C.12D．1解析：f(x)＝(x－1)2＋a(ex－1＋e1－x)－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.因为g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，所以函数g(t)为偶函数．因为f(x)有唯一零点，所以g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，所以2a－1＝0，解得a＝12.答案：C2．(角度2)(2020·佛山一中检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在[0，2]内恰有两个