2021高考数学一轮复习 第二章 函数 第5节 指数与指数函数课件

第二章函数第5节指数与指数函数课程标准考情索引核心素养1.了解有理数指数幂、实数指数幂的含义，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.能画出具体指数函数的图象，探索理解指数函数的单调性与特殊点.2019·全国卷Ⅰ，T32019·北京卷，T132019·全国卷Ⅱ，T142017·全国卷Ⅰ，T111.逻辑推理2.数学运算3.直观想象1．根式(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a＜0.2．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q.3．指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．(2)指数函数的图象与性质．a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1性质在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1．在第一象限内，指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象越高，底数越大．2．画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.3．指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)4（－4）4＝－4.()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.()(3)函数y＝2x－1是指数函数．()(4)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．()解析：(1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错．(2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错．(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错．(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，所以ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，故(4)错．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A必修1·习题改编)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过2，13，则f(－1)＝()A．1B．2C.3D．3解析：依题意可知a2＝13，解得a＝33，所以f(x)＝33x，所以f(－1)＝33－1＝3.答案：C3．(人A必修第一册·习题改编)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．acbC．bacD．bca解析：根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.50.60.60.60＝1，而c＝1.50.61，所以bac.答案：C[典题体验]4．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)()A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数解析：因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．因为函数y＝13x在R上是减函数，所以函数y＝－13x在R上是增函数．又因为y＝3x在R上是增函数，所以函数f(x)＝3x－13x在R上是增函数．答案：B5．函数f(x)＝ax－2019＋2020(a0且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为________．解析：令x－2019＝0，得x＝2019，此时f(x)＝2021.答案：(2019，2021)6．化简（a23·b－1）－12·a－12·b136a·b5＝________．解析：原式＝a－13b12·a－12·b13a16b56＝a－13－12－16·b12＋13－56＝1a.答案：1a考点1指数幂的运算(自主演练)化简下列各式：1．[(0.06415)－2.5]23－3338－π0.解：原式＝64100015－5223－27813－1＝410315×－52×23－32313－1＝52－32－1＝0.2.56a13·b－2·(－3a－12b－1)÷(4a23·b－3)12.解：原式＝－52a－16b－3÷(4a23·b－3)12＝－54a－16b－3÷(a13b－32)＝－54a－12·b－32＝－54·1ab3＝－5ab4ab2.3.a3b23ab2（a14b12）4a－13b13(a0，b0)．解：原式＝（a3b2a13b23）12ab2a－13b13＝a32＋16－1＋13b1＋13－2－13＝ab.1．指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加．(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考点2指数函数的图象及其应用[典例1]已知函数y＝kx＋a的图象如图所示，则函数y＝ax＋k的图象可能是()解析：由函数y＝kx＋a的图象可得k0，0a1.又因为y＝kx＋a的图象与x轴交点的横坐标大于1，所以x＝－ak1，则－1k0.函数y＝ax＋k的图象可由y＝ax的图象向右平移－k个单位得到，且y＝ax＋k是减函数，故y＝ax＋k的图象与y轴交点的纵坐标大于1，B项适合．答案：B[典例2]已知函数f(x)＝|2x－1|，abc且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a0，b0，c0B．a0，b≥0，c0C．2－a2cD．2a＋2c2解析：作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．因为abc且f(a)f(c)f(b)，所以结合图象知，0f(a)1，a0，0c1.所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a，f(c)＝|2c－1|＝2c－1.又因为f(a)f(c)，所以1－2a2c－1，所以2a＋2c2.答案：D1．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而解决．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合．1．不论a为何值，函数y＝(a－1)2x－a2恒过定点，则这个定点的坐标是()A.1，－12B.1，12C.－1，－12D.－1，12解析：y＝(a－1)2x－a2＝a2x－12－2x，令2x－12＝0，得x＝－1，故函数y＝(a－1)2x－a2恒过定点－1，－12.答案：C2．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．解析：将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，利用数形结合求解．在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．所以当0＜b＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．所以b的取值范围是(0，2)．答案：(0，2)考点3指数函数的性质及应用(多维探究)角度指数函数的单调性[典例1](2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则()A．abcB．acbC．cabD．bca解析：因为a＝log20.2log21＝0，b＝20.220＝1，c＝0.20.3∈(0，0.20)，即0c1.因此bca.答案：B[典例2]设函数f(x)＝12x－7，x0，x，x≥0，若f(a)1，则实数a的取值范围是________．解析：当a0时，原不等式化为12a－71，则2－a8，解之得a－3，所以－3a0.当a≥0时，则a1，0≤a1.综上知，实数a的取值范围是(－3，1)．答案：(－3，1)角度指数型复合函数的单调性[典例3]若函数f(x)＝13ax2＋2x＋3的值域是0，19，则f(x)的单调递增区间是________．解析：令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f(x)的值域是0，19，所以g(x)的值域是[2，＋∞)，因此有a＞0，12a－44a＝2，解得a＝1，这时g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝13x2＋2x＋3.由于g(x)的单调递减区间是(－∞，－1]，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]角度指数函数性质的综合应用[典例4]已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)2－x成立，求实数k的取值范围．解：(1)因为f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，x∈R，则2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)．所以(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R恒成立，所以k＝－1.(2)因为x∈[0，＋∞)，均有f(x)2－x，则2x＋k·2－x2－x成立，所以1－k22x对x≥0恒成立，所以1－k(22x)min.因为y＝22x在[0，＋∞)上单调递增，所以(22x)min＝1，所以k0，所以实数k的取值范围是(0，＋∞)．1．比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数幂的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数幂的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．1．(角度1)(2020·江南名校联考)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则有()A．a＋b≤0B．a－b≥0C．a－b≤0D．a＋b≥0解析：令f(x)＝ex－π－x，则f(x)在R上是增函数，由ea＋πb≥e－b＋π－a，得ea－π－a≥e－b－πb.则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，则a＋b≥0.答案：D2．(角度2)(2020·佛山一中检测)设b∈R，若函数f(x)＝4x－2x＋1＋b在[－1，1]上的最大值是3，则其在[－1，1]上的最小值是()A．2B．1C．0D．－1解析：f(x)＝4x－2x＋1＋b＝(2x)2－2·2x＋b.设2x＝t，因为x∈[－1，1]，所以t∈12，2，则y＝t2－2t＋b＝(t－1)2＋b－1.当t＝1时，ymin＝b－1.当t＝2时，ymax＝3，即1＋b－1＝3，则b＝3.于是ymin＝2，则f(x)在[－1，1]上的最小值为2.答案：A3．(角度3)(2020·青岛一中检测)高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.