2021高考数学一轮复习 第二章 函数 第2节 函数的单调性与最值课件

第二章函数第2节函数的单调性与最值课程标准考情索引核心素养1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数单调性与最值的作用和实际意义.2019·全国卷Ⅲ，T112019·北京卷，T32018·北京卷，T132017·全国卷Ⅰ，T51.直观想象2.逻辑推理1．函数的单调性(1)单调函数的定义．项目增函数减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2定义当x1x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义．如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1．“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”意义不同，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．“对勾函数”y＝x＋ax(a＞0)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，a]．3．函数y＝f(x)(f(x)0或f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反．4．(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值)．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0，则函数f(x)在区间D上是增函数．()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)＜f(3)，则f(x)为增函数．()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()解析：(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以．(4)若f(x)＝x，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间可以是R.答案：(1)√(2)×(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A必修1·习题改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A．y＝1x＋xB．y＝x2－xC．y＝lnx－xD．y＝e－x解析：A、B、C在(0，＋∞)上均不单调．选项D中，y＝e－x＝1ex在区间(0，＋∞)内是减函数．答案：D3．(人A必修第一册·习题改编)函数y＝xx－1在区间[2，3]上的最大值是________．解析：因为函数y＝xx－1＝1＋1x－1在[2，3]上递减，所以当x＝2时，y＝xx－1取得最大值22－1＝2.答案：2[典题体验]4．(2019·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝x12B．y＝2－xC．y＝log12xD．y＝1x解析：函数y＝x12在(0，＋∞)上是增函数，函数y＝2－x，y＝log12x，y＝1x在(0，＋∞)上均是减函数．答案：A5．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．因为函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，所以函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．答案：D6．(2020·济南质检)设函数f(x)＝x2，x1，x＋1x－6，x≥1.则f(x)的最小值是________．解析：当x1时，f(x)＝x2的最小值为0.当x≥1时，f(x)＝x＋1x－6≥2－6＝－4(当仅当x＝1时取等号)．又－40，所以f(x)min＝－4.答案：－4考点1确定函数的单调性(区间)(讲练互动)[典例1]函数y＝log12(－x2＋x＋6)的单调增区间为()A.12，3B.－2，12C.－2，3D.12，＋∞解析：由－x2＋x＋60，得定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝log12t(t0)．因为t＝－x2＋x＋6在12，3上递减，在－2，12上递增．又y＝log12t在(0，＋∞)上递减．故y＝log12(－x2＋x＋6)的单调增区间是12，3.答案：A[典例2]判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1a3)在x∈[1，2]上的单调性．解：f(x)在[1，2]上单调递增，证明如下：设1≤x1x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax22＋1x2－ax21－1x1＝(x2－x1)a（x1＋x2）－1x1x2，由1≤x1x2≤2，得x2－x10，2x1＋x24，1x1x24，－1－1x1x2－14.又因为1a3，所以2a(x1＋x2)12，得a(x1＋x2)－1x1x20，从而f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a∈(1，3)时，f(x)在[1，2]上单调递增．1．(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．(2)函数的单调区间不能用集合或不等式表示，且图象不连续函数的单调区间一般要分开写，用“和”或“，”连接．2．(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．1．(2020·惠州一中检测)下列函数在(0，＋∞)上是减函数的是()A．f(x)＝2xB．f(x)＝|x－1|C．f(x)＝1x－xD．f(x)＝ln(x＋1)解析：y＝2x与y＝ln(x＋1)是增函数，A、D不正确．B项中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调．又f(x)＝1x－x在(0，＋∞)上是减函数，C正确．答案：C2．(一题多解)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1，1)上的单调性．解：法一设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝a（x2－x1）（x1－1）（x2－1），由于－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．法二f′(x)＝（ax）′（x－1）－ax（x－1）′（x－1）2＝a（x－1）－ax（x－1）2＝－a（x－1）2.当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．考点2求函数的最值(自主演练)1．函数f(x)＝x－1x2在x∈[1，4]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值是()A.3116B．2C.94D.114解析：易知f(x)＝x－1x2在区间[1，4]上是增函数．所以M＝f(x)max＝f(4)＝3116，m＝f(x)min＝f(1)＝0.因此M－m＝3116.答案：A2．(2020·长沙雅礼中学质检)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝f(x＋6)．当x∈(0，3)时，f(x)＝12x－1，则f(x)在区间[2019，2024]上的最小值是()A．－78B．－34C．0D.78解析：因为f(x)在R上是奇函数，且f(x)＝f(x＋6)，所以f(0)＝0，f(3)＝f(－3)，且y＝f(x)的周期为6.作出函数的大致图象，如图所示，根据周期性可知，函数f(x)在区间[2019，2024]上的图象与在区间[－3，2]上的图象完全一样．由题设f(x)在[－3，2]上单调递减，且f(2)＝14－1＝－34.故f(x)在[2019，2024]上的最小值为f(2024)＝f(2)＝－34.答案：B3．(一题多解)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，ab.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．解析：法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分，易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.法二依题意，h(x)＝log2x，0x≤2，－x＋3，x2.当0x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.答案：14．(2020·日照一中月考)函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为________．解析：当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.答案：2求函数最值的四种常用方法1．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．2．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．3．基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．4．导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.考点3函数单调性的应用(多维探究)角度利用单调性比较大小[典例1](2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A．flog314f(2－32)f(2－23)B．flog314f(2－23)f(2－32)C．f(2－32)f(2－23)flog314D．f(2－23)f(2－32)flog314解析：因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以flog314＝f(－log34)＝f(log34)．又因为log3412－232－320，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log34)f(2－23)f(2－32)．所以flog314f(2－23)f(2－32)．答案：C角度求解函数不等式[典例2](2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x0，则满足f(x＋1)f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1，0)D．(－∞，0)解析：因为f(x)＝2－x，x≤0，1，x0，所以函数f(x)的图象如图所示．由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)f(2x)转化为x＋12x.此时x≤－1.当2x0且x＋10时，f(2x)1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)f(2x)．此时－1x0.综上，不等式f(x＋1)f(2x)的解集为(－