2021高考数学一轮复习 第二章 函数 第1节 函数的概念及其表示课件

第二章函数第1节函数的概念及其表示课程标准考情索引核心素养1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用.3.了解简单的分段函数，并能简单应用.2019·天津卷，T82019·江苏卷，T42018·全国卷Ⅰ，T92018·江苏卷，T92017·全国卷Ⅲ，T151.数学运算2.逻辑推理1．函数的概念设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射．2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，必须用分类讨论的思想解决分段函数问题．[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．()(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(3)f(x)＝x－3＋2－x表示一个函数．()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．()解析：(1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数．(2)错误．值域C⊆B，不一定有C＝B.(3)错误．f(x)＝x－3＋2－x中x不存在．(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×[教材衍化]2．(人A必修1·习题改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析：A中函数定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0，2]．故选B.答案：B3．(人A必修第一册·习题改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．y＝(x＋1)2B．y＝3x3＋1C．y＝x2x＋1D．y＝x2＋1解析：对于A，函数y＝(x＋1)2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C，函数y＝x2x＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数．答案：B[典题体验]4．(2020·日照一中检测)已知函数f(x)＝x2－2x，x0，2x，x≤0，则f(f(1))＝()A．0B.12C．1D．2解析：由题意，函数f(x)＝x2－2x，x0，2x，x≤0，则f(1)＝12－2×1＝－1，所以f(f(1))＝f(－1)＝2－1＝12.答案：B5．(2019·江苏卷)函数y＝7＋6x－x2的定义域是________．解析：要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，即(x＋1)(x－7)≤0，解得－1≤x≤7.故所求函数的定义域为[－1，7]．答案：[－1，7]6．(2020·佛山一中月考)已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数f(x)的解析式为________________．解析：f(x)＋2f(－x)＝ex，①f(－x)＋2f(x)＝e－x，②①②联立消去f(－x)得3f(x)＝2e－x－ex，所以f(x)＝23e－x－13ex.答案：f(x)＝23e－x－13ex考点1求函数的定义域(自主演练)1．(2020·江南十校期末检测)函数y＝－x2＋2x＋3lg（x＋1）的定义域为()A．(－1，3]B．(－1，0)∪(0，3]C．[－1，3]D．[－1，0)∪(0，3]解析：要使函数有意义，x需满足－x2＋2x＋3≥0，x＋10，x＋1≠1，解得－1x0或0x≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]．答案：B2．(2020·济南一中质检)已知函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝f12x＋8－2x的定义域为()A．[0，3]B．[0，2]C．[1，2]D．[1，3]解析：因为f(x)的定义域为[0，2]，所以g(x)有意义，x满足0≤12x≤2，0≤8－2x.解得0≤x≤3.所以g(x)的定义域为[0，3]．答案：A3．函数y＝1－x2＋log2(tanx－1)的定义域为____．解析：要使函数y＝1－x2＋log2(tanx－1)有意义，则1－x2≥0，tanx－10，且x≠kπ＋π2(k∈Z)，所以－1≤x≤1且π4＋kπxkπ＋π2，k∈Z，可得π4x≤1.则函数的定义域为π4，1.答案：π4，11．求给定解析式的函数定义域的方法．求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义．2．求抽象函数定义域的方法．(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．考点2求函数解析式(讲练互动)[典例1]已知f2x＋1＝lgx，则f(x)＝________．解析：令t＝2x＋1(t1)，则x＝2t－1，所以f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1(x1)．答案：lg2x－1(x1)[典例2]已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________．解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1，所以2a＝1，a＋b＝－1，即a＝12，b＝－32.所以f(x)＝12x2－32x＋2.答案：12x2－32x＋2[典例3]已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f1x·x－1，则f(x)＝________．解析：在f(x)＝2f1x·x－1中，将x换成1x，则1x换成x，得f1x＝2f(x)·1x－1，由f（x）＝2f1x·x－1，f1x＝2f（x）·1x－1，解得f(x)＝23x＋13.答案：23x＋13求函数解析式的常用方法1．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．2．换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．3．构造法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x)．1．已知函数f(x)满足f1x＋1xf(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝________．解析：令x＝2，可得f12＋12f(－2)＝4，①令x＝－12，可得f(－2)－2f12＝－1，②联立①②解得f(－2)＝72.答案：722．已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________．解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，所以2ax＋b＝2x＋2，则a＝1，b＝2.因为f(x)＝x2＋2x＋c＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c＝0，则c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.答案：x2＋2x＋1考点3分段函数(多维探究)角度分段函数求值[典例1](2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝cosπx2，0＜x≤2，x＋12，－2＜x≤0，则f(f(15))的值为________．解析：因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝－1＋12＝12，所以f(f(15))＝f(12)＝cosπ4＝22.答案：22角度分段函数与方程、不等式问题[典例2]已知函数f(x)＝2x，x0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为________．解析：因为f(1)＝2，且f(a)＋f(1)＝0，所以f(a)＝－2.当a≤0时，f(a)＝a＋1＝－2，所以a＝－3，当a0时，f(a)＝2a0，此时f(a)＝－2无解．综上可知，a＝－3.答案：－3[典例3](2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x＞0，则满足f(x)＋fx－121的x的取值范围是_____．解析：由题意知，可对不等式分x≤0，0x≤12，x12三段讨论．当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋121，解得x－14，所以－14＜x≤0.当0x≤12时，原不等式为2x＋x＋121，显然成立．当x12时，原不等式为2x＋2x－121，显然成立．综上可知，x－14.答案：－14，＋∞1．根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．2．已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．1．(角度1)(2020·佛山一中检测)已知函数f(x)＝log3（x＋m）－1，x≥0，12020，x0的图象经过点(3，0)，则f(f(2))＝()A．2020B.12020C．2D．1解析：因为函数f(x)的图象过点(3，0)，所以log3(3＋m)－1＝0，解得m＝0.所以f(2)＝log3(2＋m)－1＝log32－10.故f(f(2))＝12020.答案：B2．(角度2)(2020·济南一中质检)已知函数f(x)＝log2x，x≥1，11－x，x1，则不等式f(x)≤1的解集为()A．(－∞，2]B．(－∞，0]∪(1，2]C．[0，2]D．(－∞，0]∪[1，2]解析：当x≥1时，不等式f(x)≤1为log2x≤1，1≤x≤2.当x1时，由11－x≤1，得x≤0.综上，f(x)≤1的解集为{x|x≤0或1≤x≤2}．答案：D3．(角度2)已知函数f(x)＝（1－2a）x＋3a，x1，2x－1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围是________．解析：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1.因为函数f(x)＝（1－2a）x＋3a，x1，2x－1，x≥1，的值域为R，所以当x1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则1－2a0，1－2a＋3a≥1，解得0≤a12.答案：0，12