2021高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第7节 抛物线课件

第八章平面解析几何第7节抛物线课程标准考情索引核心素养1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质.2.进一步体会数形结合的思想.3.了解抛物线的简单应用.2019·全国卷Ⅱ，T82018·全国卷Ⅰ，T82018·全国卷Ⅱ，T192018·全国卷Ⅲ，T162017·全国卷Ⅱ，T161.直观想象2.数学运算1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质y2＝2px(p0)y2＝－2px(p0)x2＝2py(p0)x2＝－2py(p0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0F－p2，0F0，p2F0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R性质开口方向向右向左向上向下1．焦半径：抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝2psin2θ＝x1＋x2＋p.[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√[教材衍化]2．(人A选修2－1·习题改编)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－92x或x2＝43yB．y2＝92x或x2＝43yC．y2＝92x或x2＝－43yD．y2＝－92x或x2＝－43y解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－92，m＝43，所以y2＝－92x或x2＝43y.故选A.答案：A3．(人A选修2－1·习题改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于()A．9B．8C．7D．6解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.答案：B[典题体验]4．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23p＋y2p＝1的焦点坐标为(±2p，0)．由题意得p2＝2p，解得p＝0(舍去)或p＝8.答案：D5．(2020·湖南名校联盟联考)已知直线l1：x＝－1，l2：x－y＋1＝0，P为抛物线y2＝4x上任意一点，则点P到直线l1与l2的距离之和的最小值为()A．2B.2C．1D.22解析：由抛物线y2＝4x知其准线方程为x＝－1，由抛物线定义可知点P到直线l1：x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离，所以点P到直线l1的距离与点P到直线l2的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线l2：x－y＋1＝0的距离．即d＝|1－0＋1|12＋（－1）2＝2.答案：B6．(2018·北京卷)已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a)(a0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)考点1抛物线的定义及应用(讲练互动)[典例]设P是曲线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3，2)，点F是抛物线的焦点，求|PB|＋|PF|的最小值．解：(1)如图所示，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于点P，故最小值为22＋1＝5.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，|P1Q|＝|P1F|，则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，利用“两点之间线段最短”使问题得解．转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________．解析：如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M1、N1，设抛物线的准线与x轴的交点为F1，则|NN1|＝|OF1|＝2，|FF1|＝4.因为M为FN的中点，所以|MM1|＝3，由抛物线的定义|FM|＝|MM1|＝3，从而|FN|＝2|FM|＝6.答案：62．已知直线l1是抛物线C：y2＝8x的准线，P是C上的一动点，则点P到直线l1与直线l2：3x－4y＋24＝0的距离之和的最小值为________．解析：抛物线y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线方程为x＝－2，根据题意作出图象(如图所示)，点P到直线l2的距离为|PA|，点P到x＝－2的距离为|PB|.由抛物线的定义知，|PB|＝|PF|，故点P到直线l2：3x－4y＋24＝0和x＝－2的距离之和为|PA|＋|PF|，当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值，而点F(2，0)到直线l2：3x－4y＋24＝0的距离为|6＋24|5＝6，所以点P到直线l1与直线l2的距离之和的最小值为6.答案：6考点2抛物线的标准方程及其性质(讲练互动)[典例1]抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当|MA||MF|＝2时，△AMF的面积为()A．1B.2C．2D．22解析：过M作MP垂直于准线，垂足为P，则|MA||MF|＝2＝|MA||MP|＝1cos∠AMP＝1cos∠MAF，则cos∠MAF＝22，则∠MAF＝45°，此时△AMF是等腰直角三角形，易知|AF|＝|MF|＝2，所以三角形AMF的面积为12×2×2＝2.故选C.答案：C[典例2]已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝855，则抛物线C2的方程为()A．y2＝85xB．y2＝165xC．y2＝325xD．y2＝645x解析：由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx(易知k0)，圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝|－2|k2＋1＝22－4552＝255，解得k＝2，由y＝2x，x2＋（y－2）2＝4得x＝0，y＝0或x＝85，y＝165，把85，165代入抛物线方程，得1652＝2p·85，解得p＝165，所以抛物线C2的方程为y2＝325x.答案：C1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，因此只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．2．在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．1．A是抛物线y2＝2px(p0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是()A．x＝－1B．y＝－1C．x＝－2D．y＝－2解析：过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.故选A.答案：A2．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.因为|AB|＝42，|DE|＝25，抛物线的准线方程为x＝－p2，所以不妨设A4p，22，D－p2，5.因为点A4p，22，D－p2，5在圆x2＋y2＝r2上，所以16p2＋8＝r2，p24＋5＝r2，所以16p2＋8＝p24＋5，所以p＝4(负值舍去)．所以C的焦点到准线的距离为4.答案：B考点3直线与抛物线的位置关系(多维探究)角度直线与抛物线的交点问题[典例1]在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．解：(1)如图所示，由已知得M(0，t)，Pt22p，t.又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，故直线ON的方程为y＝ptx，将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0,解得x1＝0，x2＝2t2p.因此H2t2p，2t.所以N为OH的中点，即|OH||ON|＝2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝2tp(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．角度与抛物线弦长有关的问题[典例2]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.22B.2C.322D．22解析：如图，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2.当x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标y＝22，所以A(2，22)，所以直线AF的方程为y＝22(x－1)．联立直线与抛物线的方程y＝22（x－1），y2＝4x，得2x2－5x＋2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝52.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝52＋2＝92，所以点O到直线AB：22x－y－22＝0的距离d＝223，所以S△AOB＝12·|AB|·d＝12×92×223＝322.答案：C1．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝|yA|＋|yB|＋p.2．涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求”“整体代入”的方法．提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解．1．(角度1)(2019·珠海模拟)已知抛物线y2＝4