2021高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第3节 圆的方程课件

第八章平面解析几何第3节圆的方程课程标准考情索引核心素养回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2019·全国卷Ⅰ，T21(1)2018·全国卷Ⅱ，T19(2)2017·全国卷Ⅲ，T20(2)1.直观想象2.数学运算1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)圆心：－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.3．确定圆的方程(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法，一般步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程．②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．1．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件：A＝C≠0，B＝0，且D2＋E2－4AF0.2．解决与圆上点(x，y)有关的最值问题：转化为与圆心有关的最值问题．3．过x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程：x0x＋y0y＝r2.[概念思辨]1．判断下列说法的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0.()解析：由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．(2)中，当t≠0时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√[教材衍化]2．(人A必修2·习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2，3)B．(－2，3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．故选D.答案：D3．(一题多解)(人A必修2·习题改编)△ABC的三个顶点分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，则其外接圆的方程为________．解析：法一设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F0)．则由题意有－D＋5E＋F＋26＝0，－2D－2E＋F＋8＝0，5D＋5E＋F＋50＝0，解得D＝－4，E＝－2，F＝－20，故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.法二由题意可求得线段AC的中垂线方程为x＝2，线段BC的中垂线方程为x＋y－3＝0，所以圆心是中垂线的交点(2，1)，半径r＝（2＋1）2＋（1－5）2＝5，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25，即x2＋y2－4x－2y－20＝0.答案：x2＋y2－4x－2y－20＝0[典题体验]4．圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是()A．2B．－2C．1D．－1解析：因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，所以直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故选B.答案：B5．(2020·菏泽模拟)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C.3D．2解析：圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1，4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.答案：A6．若a∈－2，0，1，34，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为________．解析：要使方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则应有a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)0，解得－2a23.所以符合条件的a只有1个，即a＝0，所以原方程只能表示1个圆．答案：1考点1求圆的方程(讲练互动)[典例]求下列各圆的方程：(1)已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)经过点A(5，2)，点B(3，2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；(3)经过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．解：(1)过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r＝（3－1）2＋（－2＋4）2＝22，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则（5－a）2＋（2－b）2＝r2，（3－a）2＋（2－b）2＝r2，2a－b－3＝0，得a＝4，b＝5，r2＝10.故圆C的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.(3)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)，所以1＋144＋D＋12E＋F＝0，49＋100＋7D＋10E＋F＝0，81＋4－9D＋2E＋F＝0，解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.1．直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2．待定系数法．(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．易错警示：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝9考点2与圆有关的最值问题(典例迁移)[典例](经典母题)已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求y－3x＋2的最大值和最小值．解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝22.又|QC|＝（2＋2）2＋（7－3）2＝42，所以|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝22.(2)可知y－3x＋2表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直线MQ与圆C有交点，所以|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k≤2＋3，所以y－3x＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.[迁移探究]1．在典例的条件下，求y－x的最大值和最小值．解：设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，所以|2－7＋b|12＋（－1）2＝22，所以b＝9或b＝1.因此y－x的最大值为9，最小值为1.2．若典例中条件“点Q(－2，3)”改为“点Q是直线3x＋4y＋1＝0上的动点”，其他条件不变，试求|MQ|的最小值．解：因为圆心C(2，7)到直线3x＋4y＋1＝0上动点Q的最小值为点C到直线3x＋4y＋1＝0的距离，所以|QC|min＝d＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7.又圆C的半径r＝22，所以|MQ|的最小值为7－22.与圆有关的最值问题的三种几何转化法1．形如μ＝y－bx－a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．2．形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为直线截距的最值问题．3．形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．考点3与圆有关的轨迹问题(讲练互动)[典例]已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，CM→＝(x，y－4)，MP→＝(2－x，2－y)，由圆的几何性质，CM⊥MP，所以CM→·MP→＝0，所以x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.因为点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．因为|OP|＝|OM|，所以点O在线段PM的垂直平分线上．又点P在圆N上，所以ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－13，故l的方程为y＝－13x＋83，即x＋3y－8＝0.又|OM|＝|OP|＝22，O到直线l的距离为4105，故|PM|＝4105，所以△POM的面积为165.求与圆有关的轨迹问题的四种方法1．直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．2．定义法：根据圆的定义列方程求解．3．几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．4．代入法(相关点法)：指出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．已知一个圆经过点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上．(1)求此圆的方程；(2)若点D为所求圆上任意一点，且点C(3，0)，求线段CD的中点M的轨迹方程．解：(1)因为A(3，1)，B(－1，3)，所以kAB＝3－1－1－3＝－12，线段AB的中点坐标为(1，2)，从而线段AB的垂直平分线的斜率为2，方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.由方程组2x－y＝0，3x－y－2＝0，解得x＝2，y＝4，所以圆心N(2，4)，半径r＝|NA|＝（2－3）2＋（4－1）2＝10.故所求圆N的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.(2)设M(x，y)，D(x1，y1)，则由C(3，0)及M为线段CD的中点得x＝x1＋32，y＝y1＋02，解得x1＝2x－3，y1＝2y.又点D在圆N上，所以(2x－3－2)2＋(2y－4)2＝10，化简得x－522＋(y－2)2＝52.故所求的轨迹方程为x－522＋(y－2)2＝52.