2021高考数学一轮复习 第2章 函数 第2节 函数的单调性与最值课件 文 北师大版

第二章函数第二节函数的单调性与最值2[最新考纲]1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．3课前自主回顾41．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A定义当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)5图像描述自左向右看图像是________自左向右看图像是_______下降的上升的6(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间A上是或，那么称A为单调区间．增加的减少的72．函数的最值前提函数y＝f(x)的定义域为D(1)存在x0∈D，使得_________；(1)存在x0∈D，使得__________；条件(2)对于任意x∈D，都有________(2)对于任意x∈D，都有_________结论M为最大值M为最小值f(x0)＝Mf(x0)＝Mf(x)≤Mf(x)≥M8[常用结论]1．函数单调性的结论(1)对任意x1，x2∈D(x1≠x2)，fx1－fx2x1－x2＞0⇔f(x)在D上是增函数；fx1－fx2x1－x2＜0⇔f(x)在D上是减函数．9(2)对勾函数y＝x＋ax(a＞0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，a]．(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．102．函数最值存在的两个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．11一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．()(2)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．()12(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．()(4)闭区间上的单调函数的最值一定在区间端点取到．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√13二、教材改编1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上()A．递减B．递增C．先递减后递增D．先递增后递减C[因为函数y＝x2－6x＋10的图像为抛物线，且开口向上，对称轴为直线x＝3，所以函数y＝x2－6x＋10在(2,3)上为减函数，在(3,4)上为增函数．]142．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－xC．y＝1xD．y＝－x2＋4A[y＝3－x在R上递减，y＝1x在(0，＋∞)上递减，y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减，故选A.]153．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________．－∞，－12[因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－12.]164．已知函数f(x)＝2x－1，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．225[易知函数f(x)＝2x－1在x∈[2,6]上为减函数，故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝25.]17课堂考点探究18⊙考点1确定函数的单调性(区间)确定函数单调性的四种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图像法．由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．19(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．20求函数的单调区间(1)函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是()A.32，＋∞B.1，32和[2，＋∞)C．(－∞，1]和32，2D.－∞，32和[2，＋∞)(2)函数y＝x2＋x－6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．21(1)B(2)[2，＋∞)(－∞，－3][(1)y＝|x2－3x＋2|＝x2－3x＋2，x≤1或x≥2，－x2－3x＋2，1＜x＜2.其图像如图所示，函数的单调递增区间是1，32和[2，＋∞)．故选B.22(2)令u＝x2＋x－6，则y＝x2＋x－6可以看作是由y＝u与u＝x2＋x－6复合而成的函数．令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在[0，＋∞)上是增函数，所以y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．]23(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．如本例(2)．(2)求复合函数的单调区间的一般步骤：①确定函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”，如本例(2)．24含参函数的单调性[一题多解]判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1＜a＜3)在x∈[1,2]上的单调性．25[解]法一：(定义法)任取x1，x2∈[1,2]，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝ax22＋1x2－ax21＋1x1＝(x2－x1)ax1＋x2－1x1x2，由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，1＜x1x2＜4，－1＜－1x1x2＜－14.26又1＜a＜3，所以2＜a(x1＋x2)＜12，得a(x1＋x2)－1x1x2＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增．27法二：(导数法)因为f′(x)＝2ax－1x2＝2ax3－1x2，因为1≤x≤2，∴1≤x3≤8，又1＜a＜3，所以2ax3－1＞0，所以f′(x)＞0，所以函数f(x)＝ax2＋1x(其中1＜a＜3)在[1,2]上是增函数．28定义法证明函数单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．291.函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间为________．(－∞，－1]，[0,1][由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图像如图．由图像可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的递增区间为(－∞，－1]，[0,1]．]302．判断并证明函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．[解]法一：(定义法)任取x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝ax2－x1x1－1x2－1，由于－1＜x1＜x2＜1，31所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．32法二：(导数法)f′(x)＝ax－1－axx－12＝－ax－12，所以当a＞0时，f′(x)＜0，当a＜0时，f′(x)＞0，即当a＞0时，f(x)在(－1,1)上为单调减函数，当a＜0时，f(x)在(－1,1)上为单调增函数．33⊙考点2函数的最值求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．34(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．35(1)若函数f(x)＝x－a2x≤0，x＋1x＋ax＞0的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是()A．[－1,2]B．[－1,0]C．[1,2]D．[0,2]36(2)函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．(3)函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．37(1)D(2)3(3)14[(1)当x＞0时，f(x)＝x＋1x＋a≥2＋a，当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立．故当x＝1时取得最小值2＋a，∵f(x)的最小值为f(0)，∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，此时的最小值为f(0)＝a2，故2＋a≥a2，得－1≤a≤2.又a≥0，得0≤a≤2.故选D.38(2)∵f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3－log21＝3.(3)令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t2＝－t－122＋14，当t＝12，即x＝14时，ymax＝14.]39[逆向问题]若函数f(x)＝－ax＋b(a＞0)在12，2上的值域为12，2，则a＝________，b＝________.40152[∵f(x)＝－ax＋b(a＞0)在12，2上是增函数，∴f(x)min＝f12＝12，f(x)max＝f(2)＝2.即－2a＋b＝12，－a2＋b＝2，解得a＝1，b＝52.]41(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．如本例(3)．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．如例(1)．(3)若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则必在区间的端点处取得最值．如本例(2)；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，则最小值为函数f(x)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值，最大值为函数f(x)在该区间内的极大值和区间端点值中最大的值．421.函数f(x)＝x2＋4x的值域为________．43(－∞，－4]∪[4，＋∞)[当x＞0时，f(x)＝x＋4x≥4，当且仅当x＝2时取等号；当x＜0时，－x＋－4x≥4，即f(x)＝x＋4x≤－4，当且仅当x＝－2时取等号，所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．]442．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a＞b.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．451[法一：(图像法)在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图像，依题意，h(x)的图像如图所示．易知点A(2,1)为图像的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.46法二：(单调性法)依题意，h(x)＝log2x，0＜x≤2，－x＋3，x＞2.当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.]47⊙考点3函数单调性的应用函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利