2021版高考数学一轮复习 选修4-5 不等式选讲 第2讲 不等式的证明课件 理 北师大版

数学选修4－5不等式选讲第2讲不等式的证明01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理推广：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．3．数学归纳法证明不等式的关键使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由n＝k时不等式成立推证n＝k＋1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向．常用结论1．a2≥0(a∈R)．2．(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，a＋b22≥ab，a2＋b2≥12(a＋b)2.3．若a，b为正实数，则a＋b2≥ab.特别地，ba＋ab≥2.4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.二、教材衍化1．已知a≥b0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________．解析：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b0.所以a－b≥0，a＋b0，2a＋b0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.答案：M≥N2．求证：3＋72＋6.证明：3＋72＋6⇐(3＋7)2(2＋6)2⇐10＋22110＋46⇐2126⇐2124.故原不等式成立．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．()×√××二、易错纠偏常见误区不等式放缩不当致误设a，b∈(0，＋∞)，且ab－a－b＝1，则有()A．a＋b≥2(2＋1)B．a＋b≤2＋1C．a＋b2＋1D．a＋b2(2＋1)解析：选A.由已知得a＋b＋1＝ab≤a＋b22，故有(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，解得a＋b≥22＋2或a＋b≤－22＋2(舍去)，即a＋b≥22＋2.(当且仅当a＝b＝2＋1时取等号)故选A.比较法证明不等式(师生共研)设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．【证明】因为a，b是非负实数，所以a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)[(a)5－(b)5]≥0；当ab时，ab，从而(a)5(b)5，得(a－b)[(a)5－(b)5]0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论．(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论．[提醒](1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．1．当p，q都是正数且p＋q＝1时，试比较(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．解：(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p2x2＋q2y2＋2pqxy－(px2＋qy2)＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p.所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.因为p，q为正数，所以－pq(x－y)2≤0，所以(px＋qy)2≤px2＋qy2.当且仅当x＝y时，不等式中等号成立．2．已知a，b∈(0，＋∞)，求证：abba≤(ab)a＋b2.证明：abba（ab）a＋b2＝ab－a＋b2ba－a＋b2＝baa－b2.当a＝b时，baa－b2＝1；当ab0时，0ba1，a－b20，baa－b21.当ba0时，ba1，a－b20，baa－b21.所以abba≤(ab)a＋b2.综合法、分析法证明不等式(师生共研)(一题多解)已知a0，b0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.【证明】法一(综合法)：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3（a＋b）24·(a＋b)＝2＋3（a＋b）34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.法二(分析法)：(1)因为a0，b0，a3＋b3＝2.要证(a＋b)(a5＋b5)≥4，只需证(a＋b)(a5＋b5)≥(a3＋b3)2，即证a6＋ab5＋a5b＋b6≥a6＋2a3b3＋b6，即证a4＋b4≥2a2b2，因为(a2－b2)2≥0，即a4＋b4≥2a2b2成立．故原不等式成立．(2)要证a＋b≤2成立，只需证(a＋b)3≤8，即证a3＋3a2b＋3ab2＋b3≤8，即证ab(a＋b)≤2，即证ab(a＋b)≤a3＋b3，即证ab(a＋b)≤(a＋b)(a2－ab＋b2)，即证ab≤a2－ab＋b2，显然成立．故原不等式成立．分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确要干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程．1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1，证明：(1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明：(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc＝1a＋1b＋1c.所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33（a＋b）3（b＋c）3（a＋c）3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)＝24.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.2．(2020·湖南长沙长郡中学调研)已知函数f(x)＝|x＋2|.(1)解不等式f(x)4－|x＋1|；(2)已知a＋b＝2(a0，b0)，求证：|x－2.5|－f(x)≤4a＋1b.解：(1)f(x)4－|x＋1|，即|x＋2|＋|x＋1|4，则x－2，－x－2－x－14，得x－3.5；－2≤x1，x＋2－x－14，无解；x≥－1，x＋2＋x＋14，得x0.5.所以原不等式的解集为{x|x－3.5或x0.5}．(2)证明：|x－2.5|－f(x)＝|x－2.5|－|x＋2|≤4.5，4a＋1b＝12(a＋b)(4a＋1b)＝12(4＋1＋4ba＋ab)≥12(5＋4)＝4.5，所以|x－2.5|－f(x)≤4a＋1b.反证法证明不等式(师生共研)设0a，b，c1，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于14.【证明】设(1－a)b14，(1－b)c14，(1－c)a14，三式相乘得(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a164，①又因为0a，b，c1，所以0(1－a)a≤（1－a）＋a22＝14.同理(1－b)b≤14，(1－c)c≤14，以上三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤164，与①矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于14.利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论．(2)从假设出发，导出矛盾．(3)证明原命题正确．已知a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0，求证：a，b，c0.证明：(1)设a0，因为abc0，所以bc0.又由a＋b＋c0，则b＋c－a0，所以ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc0，与题设矛盾．(2)若a＝0，则与abc0矛盾，所以必有a0.同理可证b0，c0.综上可证a，b，c0.放缩法证明不等式(师生共研)若a，b∈R，求证：|a＋b|1＋|a＋b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.【证明】当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．当|a＋b|≠0时，由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|⇒1|a＋b|≥1|a|＋|b|，所以|a＋b|1＋|a＋b|＝11|a＋b|＋1≤11＋1|a|＋|b|＝|a|＋|b|1＋|a|＋|b|＝|a|1＋|a|＋|b|＋|b|1＋|a|＋|b|≤|a|1＋|a|＋|b|1＋|b|.综上，原不等式成立．“放”和“缩”的常用技巧在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如1k21k（k－1），1k21k（k＋1），1k2k＋k－1，1k2k＋k＋1.上面不等式中k∈N+，k1.(2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0ab，m0，则aba＋mb＋m”．[提醒]在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n是正整数，求证：12≤1n＋1＋1n＋2＋…＋12n1.证明：由2n≥n＋kn(k＝1，2，…，n)，得12n≤1n＋k1n.当k＝1时，12n≤1n＋11n；当k＝2时，12n≤1n＋21n；…当k＝n时，12n≤1n＋n1n，所以12＝n2n≤1n＋1＋1n＋2＋…＋12nnn＝1.所以原不等式成立．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放