2021版高考数学一轮复习 规范答题示范（一） 函数与导数课件 文 新人教A版

数学第三章导数及其应用规范答题示范(一)函数与导数类型一函数的单调性、极值及最值(12分)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；❶(2)求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．❷[建桥寻突破]❶看到求曲线的切线方程，想到利用导数的几何意义求切线的斜率，再确定切线方程．❷看到求函数f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值，想到利用导数研究函数在给定区间上的单调性，得出最值.[规范解答](1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，2分得分点①又因为f(0)＝1，f′(0)＝0，3分得分点②所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.4分得分点③(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx．6分得分点④当x∈0，π2时，h′(x)＜0，7分得分点⑤所以h(x)在区间0，π2上单调递减.8分得分点⑥所以对任意x∈0，π2有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0，9分得分点⑦所以函数f(x)在区间0，π2上单调递减，10分得分点⑧因此f(x)在区间0，π2上的最大值为f(0)＝1，11分得分点⑨最小值为fπ2＝－π2.12分得分点⑩[评分标准]①有正确的求导式子得2分；②得出f′(0)＝0得1分；③写出切线方程y＝1得1分；④对新函数h(x)＝ex(cosx－sinx)－1求导正确得2分．求导出错不得分；⑤得出x∈0，π2时，h′(x)＜0得1分；⑥正确判断出函数h(x)的单调性得1分；⑦得出f′(x)＜0得1分；⑧判断出函数f(x)在区间0，π2的单调性得1分；⑨求出最大值得1分；⑩求出最小值得1分.[解题点津](1)牢记求导法则，正确求导：在函数与导数类解答题中，通常会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，如本题第(1)问就涉及对函数的求导．(2)注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解.[核心素养]导数的几何意义、函数的单调性、极值与最值的综合问题以函数为载体，以导数为解题工具，主要考查函数的单调性、极值、最值问题的求法．主要考查“数学运算”的核心素养.类型二函数、导数与不等式(12分)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f（x）的单调性；❶(2)当a＜0时，证明f（x）≤－34a－2.❷[建桥寻突破]❶看到讨论f(x)的单调性，想到先确定函数的定义域，然后对函数f(x)进行求导．❷看到f(x)≤－34a－2成立，想到利用导数求函数的最大值.[规范解答](1)f′(x)＝2ax2＋（2a＋1）x＋1x＝（2ax＋1）（x＋1）x(x＞0)，2分得分点①当a≥0时，f′(x)≥0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，4分得分点②当a＜0时，则f(x)在0，－12a上单调递增，在－12a，＋∞上单调递减.6分得分点③(2)由(1)知，当a＜0时，f(x)max＝f－12a，7分得分点④f－12a－－34a－2＝ln－12a＋12a＋1，令y＝lnt＋1－tt＝－12a＞0，令y′＝1t－1＝0，解得t＝1，8分得分点⑤所以y在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，9分得分点⑥所以ymax＝y(1)＝0，所以y≤0，10分得分点⑦即f(x)max≤－34a＋2，所以f(x)≤－34a－2.12分得分点⑧[评分标准]①正确求导并写出函数的定义域得2分；②讨论当a≥0时，f(x)的单调性，正确得2分；③讨论当a＜0时，f(x)的单调性，正确得2分；④写出f(x)max＝f－12a得1分；⑤构造函数y＝lnt＋1－t，并正确求导解得t＝1得1分；⑥判断新函数y＝lnt＋1－t的单调性得1分；⑦得出结论得1分；⑧结合恒成立得出待证式得2分.[解题点津](1)讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏．(2)构造函数：构造新函数是导数综合问题的常用方法，如本题第(2)问构造函数y＝lnt＋1－t.注意新函数的定义域.[核心素养]利用导数判断函数的单调性及解决与不等式有关的函数问题是高考命题的热点问题．本题主要考查“逻辑推理”及“数学运算”的核心素养.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放