2021版高考数学一轮复习 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 1.4 不等式的性质与一元二次不等式

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第四节不等式的性质与一元二次不等式2[最新考纲]1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3课前自主回顾41．两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b＞0⇔ab，a－b＝0⇔aba，b∈R，a－b＜0⇔ab.(2)作商法ab＞1⇔ab，ab＝1⇔aba∈R，b＞0，ab＜1⇔ab.＞＝＜＞＝＜52．不等式的性质(1)对称性：ab⇔；(2)传递性：ab，bc⇒ac；(3)可加性：ab⇔a＋cb＋c；ab，cd⇒a＋cb＋d；(4)可乘性：ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc；ab0，cd0⇒acbd；ba6(5)乘方法则：ab0⇒anbn(n≥2，n∈N)；(6)开方法则：ab0⇒nanb(n≥2，n∈N)；(7)倒数性质：设ab0，则ab⇔1a1b.73．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象8一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集______________Rax2＋bx＋c0(a0)的解集____________∅__{x|xx1或xx2}{x|x1xx2}∅9[常用结论]1．若a＞b＞0，m＞0，则ba＜b＋ma＋m；若b＞a＞0，m＞0，则ba＞b＋ma＋m.2．(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间．103．恒成立问题的转化：a＞f(x)恒成立⇒a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min.4．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.11一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×12二、教材改编1．函数f(x)＝3x－x2的定义域为()A．[0,3]B．(0,3)C．(－∞，0]∪[3，＋∞)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)13A[要使函数f(x)＝3x－x2有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.]142．设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为()A．A≥BB．A＞BC．A≤BD．A＜BB[∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4)＝x2－6x＋9－x2＋6x－8＝1＞0，∴A＞B，故选B.]153．设a，b∈R，则“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16A[若a2且b1，则由不等式的同向可加性可得a＋b2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab2×1＝2.即“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的充分条件；反之，若“a＋b3且ab2”，则“a2且b1”不一定成立，如a＝6，b＝12.所以“a2且b1”是“a＋b3且ab2”的充分不必要条件．故选A.]174．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为x－12＜x＜13，则a＋b＝________.18－14[由题意知x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，则－ba＝－12＋13，2a＝－12×13，解得a＝－12，b＝－2(经检验知满足题意)．∴a＋b＝－14.]19课堂考点探究20考点1比较大小与不等式的性质比较大小的5种常用方法(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等)．(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号．21(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较．(4)不等式的性质法．(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．221.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是()A．a＋c≥b－cB．(a－b)c2≥0C．ac＞bcD.ba≤b＋ca＋cB[(不等式的性质法)a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.]232．若a0，b0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A．pqB．p≤qC．pqD．p≥q24B[法一：(作差法)p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b＝b2－a2b－aab＝b－a2b＋aab，因为a0，b0，所以a＋b0，ab0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；25若a≠b，则p－q0，故pq.综上，p≤q.故选B.法二：(特殊值排除法)令a＝b＝－1，则p＝q＝－2，排除选项A、C;令a＝－1，b＝－2，则pq，排除选项D.故选B.]263．(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则()A．ln(a－b)＞0B．3a＜3bC．a3－b3＞0D．|a|＞|b|27C[法一：由函数y＝lnx的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当ab时，3a3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当ab时，a3b3，即a3－b3＞0，故C正确；当ba0时，|a||b|，故D不正确．故选C.法二：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)＜0,3a＞3b，|a|＜|b|，故排除A，B，D.故选C.]284．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．29[5,10][法一：(待定系数法)设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.30法二：(运用方程思想)由f－1＝a－b，f1＝a＋b，得a＝12[f－1＋f1]，b＝12[f1－f－1]，∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.]31(1)尽管特值法可以较快的排除干扰选项，但直接应用该法作出正确判断是有风险的，如T2，T3.(2)利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件，如T1，T4.32考点2一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤33解下列不等式：(1)3＋2x－x2≥0；(2)ax2－(a＋1)x＋10(a∈R)．[解](1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．34(2)若a＝0，原不等式等价于－x＋10，解得x1.若a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0，解得x1a或x1.若a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0.35①当a＝1时，1a＝1，x－1a(x－1)0无解；②当a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1ax1；③当0a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1x1a.综上所述：当a0时，解集为xx1a或x1；当a＝0时，解集为{x|x1}；36当0a1时，解集为x1x1a；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为x1ax1.37[母题探究]将本例(2)中不等式改为x2－(a＋1)x＋a0(a∈R)，求不等式的解集．[解]原不等式可化为(x－a)(x－1)0，当a1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a1时，原不等式的解集为(a,1)．38解含参不等式的分类讨论依据提醒：含参数讨论问题最后要综上所述．391.(2019·济南模拟)已知不等式ax2－5x＋b0的解集为，则不等式bx2－5x＋a0的解集为()40C[由题意知a0，且12，－13是方程ax2－5x＋b＝0的两根，∴－13＋12＝5a，－13×12＝ba，解得a＝30，b＝－5，41∴bx2－5x＋a＝－5x2－5x＋300，即x2＋x－60，解得－3x2，故选C.]422．不等式2x＋1x－5≥－1的解集为________．43xx≤43或x＞5[将原不等式移项通分得3x－4x－5≥0，等价于3x－4x－5≥0，x－5≠0，解得x≤43或x＞5.∴原不等式的解集为xx≤43或x＞5.]443．解不等式12x2－axa2(a∈R)．[解]原不等式可化为12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.当a0时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a0时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.45考点3一元二次不等式恒成立问题在R上恒成立，求参数的范围一元二次不等式在R上恒成立的条件不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c0a0，Δ0ax2＋bx＋c≥0a0，Δ≤0ax2＋bx＋c0a0，Δ0ax2＋bx＋c≤0a0，Δ≤046不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．47(－2,2][当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－40，对一切x∈R恒成立，当a≠2时，则有a－20，Δ＝4a－22＋16a－20，即a2，－2a2，∴－2a2.综上，可得实数a的取值范围是(－2,2]．]48本题在求解中常因忽略“a－2＝0”的情形致误，只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况．49若不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3,0)B．[－3,0)C．[－3,0]D．(－3,0]50D[当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则k＜0，Δ＝k2－4×2k×－38＜0，解得－3k0.综上，满足不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．]51在给定区间上恒成立，求参数的范围在给定某区间上恒成立，形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．52[一题多解]已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)5－m恒成立，求实数m的取值范围．[解]要使f(x)－m＋5