2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定

数学第四章三角函数、解三角形第6讲正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理和余弦定理01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝___________________；b2＝___________________；c2＝___________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形(1)a＝2RsinA，b＝__________，c＝__________；(2)a∶b∶c＝_________________；(3)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ca；cosC＝a2＋b2－c22ab2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinC2.△ABC的面积公式(1)S△ABC＝12a·h(h表示边a上的高)．(2)S△ABC＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA.(3)S△ABC＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).3．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解[注意]上表中A为锐角时，absinA，无解．A为钝角或直角时，a＝b，ab均无解．常用结论1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC.(2)cos(A＋B)＝－cosC.(3)sinA＋B2＝cosC2.(4)cosA＋B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.二、习题改编1．(必修5P10B组T2改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若cbcosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形答案：A2．(必修5P10A组T4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A.π6B.π3C.2π3D．5π6解析：选C.因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝2π3.故选C.3．(必修5P3例1改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于__________．解析：设△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，由题意及余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝c2＋16－122×4×c＝12，解得c＝2.所以S＝12bcsinA＝12×4×2×sin60°＝23.答案：23一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.()(3)在△ABC中的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()×√×二、易错纠偏常见误区(1)利用正弦定理求角，忽视条件限制出现增根；(2)不会灵活运用正弦、余弦定理．1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝__________．解析：由题意：bsinB＝csinC，即sinB＝bsinCc＝6×323＝22，结合b＜c可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°.答案：75°2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－14，3sinA＝2sinB，则c＝__________．解析：由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝32a＝3.由余弦定理cosC＝a2＋b2－c22ab，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c＝4.答案：4利用正弦、余弦定理解三角形(师生共研)(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4D．3(2)(2020·济南市学习质量评估)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＋a＝2bcosA.①求角B的大小；②若a＝5，c＝3，边AC的中点为D，求BD的长．【解】(1)选A.由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3c22bc＝－14，得bc＝6.故选A.(2)①由2c＋a＝2bcosA及正弦定理，得2sinC＋sinA＝2sinBcosA，又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以2sinAcosB＋sinA＝0，因为sinA≠0，所以cosB＝－12，因为0＜B＜π，所以B＝2π3.②由余弦定理得b2＝a2＋c2－2a·ccos∠ABC＝52＋32＋5×3＝49，所以b＝7，所以AD＝72.因为cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝49＋9－252×7×3＝1114，所以BD2＝AB2＋AD2－2·AB·ADcos∠BAC＝9＋494－2×3×72×1114＝194，所以BD＝192.(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．(一题多解)(2020·广西五市联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝3，A＝30°，B为锐角，那么A∶B∶C为()A．1∶1∶3B．1∶2∶3C．1∶3∶2D．1∶4∶1解析：选B.法一：由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝32.因为B为锐角，所以B＝60°，则C＝90°，故A∶B∶C＝1∶2∶3，选B.法二：由a2＝b2＋c2－2bccosA，得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2.当c＝1时，△ABC为等腰三角形，B＝120°，与已知矛盾，当c＝2时，abc，则ABC，排除选项A，C，D，故选B.2．(2020·河南南阳四校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆的半径R＝()A.823B.1433C.73D．733解析：选D.因为b＝8，c＝3，A＝60°，所以a2＝b2＋c2－2bccosA＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a＝7，所以此三角形外接圆的直径2R＝asinA＝732＝1433，所以R＝733，故选D.3．(2019·高考全国卷Ⅰ改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求C.解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以C＋60°＝135°，即C＝75°.判断三角形的形状(典例迁移)(1)(一题多解)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)在△ABC中，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为__________．【解析】(1)法一：因为bcosC＋ccosB＝b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝2a22a＝a，所以asinA＝a即sinA＝1，故A＝π2，因此△ABC是直角三角形．法二：因为bcosC＋ccosB＝asinA，所以sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝sin2A，故sinA＝1，即A＝π2，因此△ABC是直角三角形．(2)因为c－acosB＝(2a－b)cosA，所以由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sin(A＋B)－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，故cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinA＝sinB，即A＝π2或A＝B，故△ABC为等腰或直角三角形．【答案】(1)A(2)等腰或直角三角形【迁移探究】(变条件)若将本例(1)条件改为“2sinAcosB＝sinC”，试判断△ABC的形状．解：法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－πA－Bπ，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·a2＋c2－b22ac＝c⇒a2＝b2⇒a＝b，故△ABC为等腰三角形．判定三角形形状的两种常用途径[提醒]“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．(2020·广西桂林阳朔三校调研)在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，那么△ABC是()A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．非钝角三角形解析：选B.因为a∶b∶c＝3∶5∶7，所以可设a＝3t，b＝5t，c＝7t，由余弦定理可得cosC＝9t2＋25t2－49t22×3t×5t＝－12，所以C＝120°，△ABC是钝角三角形，故选B.2．(2020·河北衡水中学三调)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sinBsinC＝sin2A，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选C.在△ABC中，因为b2＋c2＝a2＋bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，因为A∈(0，π)，所以A＝π3，因为sinBsinC＝sin2A，所以bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc，得(b－c)2＝0，解得b＝c，所以△ABC的形状是等边三角形，故选C.核心素养系列11数学运算——计算三角形中的未知量数学运算是在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．(2019·高考北京卷)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－12.(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．【解】(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×－12.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×－12.解得c＝5.所以b＝7.(2)由cosB＝－12得sinB＝32.由正弦定理得sinA＝absinB＝3314.在△ABC中，B＋C＝π－A.所以sin(B＋C)＝sinA＝3314.本题第(1)问利用余弦定理得到关于b，c的一个方程，结合b－c＝2可求出b，c的值；第(2)问利用正弦定理求出si