2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数课件

数学第四章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、______和______．(2)从终边位置来看，角可分为__________与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝______________．负角零角象限角2kπ＋α，k∈Z2．弧度制(1)定义：在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角，正角的弧度数是______，负角的弧度数是______，零角的弧度数是______．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad，1°＝______rad，1rad＝______．(3)扇形的弧长公式：l＝______，扇形的面积公式：S＝____________＝____________．正数负数零π180180π°|α|r12lr12|α|r23．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么______叫作α的正弦，记作sinα______叫作α的余弦，记作cosα______叫作α的正切，记作tanαyxyx三角函数正弦余弦正切三角函数线有向线段______为正弦线有向线段______为余弦线有向线段______为正切线MPOMAT常用结论1．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．一个结论若α∈0，π2，则tanααsinα.3．三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.4．象限角5．轴线角二、教材衍化1．角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．答案：－5π4二2．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝________．解析：由已知并结合三角函数的定义，得sinθ＝－35，cosθ＝45，所以2cosθ－sinθ＝2×45－－35＝115.答案：1153．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．答案：π3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)三角形的内角必是第一、第二象限角．()(3)不相等的角终边一定不相同．()×××二、易错纠偏常见误区(1)终边相同的角理解出错；(2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限．1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ－45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)解析：选C.与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C.2．若sinα0，且tanα0，则α是第____象限角．解析：由sinα0知α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上；由tanα0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．答案：三3．已知角α的终边在直线y＝－x上，且cosα0，则tanα＝________．解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tanα＝yx＝－xx＝－1.答案：－1象限角及终边相同的角(自主练透)1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C.－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，所以4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，所以－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象限角，故④正确，故选C.2．若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角解析：选C.因为α是第二象限角，所以π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，所以π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．所以α2是第一或第三象限角．3．集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C.当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°－45°(k∈Z)，解得－765360≤k－45360(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°.答案：－675°和－315°5．终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．解析：如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为－5π3，－2π3，π3，4π3.答案：－5π3，－2π3，π3，4π3(1)终边在某直线上角的求法4步骤①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；②按逆时针方向写出[0，2π]内的角；③再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；④求并集化简集合．(2)判断象限角的2种方法①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．(3)确定kα，αk(k∈N*)的终边位置3步骤①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②再写出kα或αk的范围；③然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在的位置．[提醒]终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．扇形的弧长及角度公式(师生共研)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)α＝60°＝π3rad，所以l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)．(2)由题意得2R＋Rα＝10，12α·R2＝4⇒R＝1，α＝8(舍去)或R＝4，α＝12.故扇形圆心角为12rad.(3)由已知得l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2C.2sin1D．2sin1解析：选C.如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于点C，并延长OC交AB︵于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝12AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝ACsin∠AOC＝1sin1，即r＝1sin1，从而AB︵的长为l＝α·r＝2sin1.故选C.2．(2020·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．解析：由题意可得∠AOB＝2π3，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝π3，∠DAO＝π6，OD＝12OA＝12×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsinπ3＝4×32＝23，可得弦AB＝2AD＝43.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2.答案：43＋2三角函数的定义(多维探究)角度一利用三角函数的定义求值已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．【解】设P(x，y)．由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，r＝3＋m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，3＋m2＝8，解得m＝±5.当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m＝－5时，r＝22，x＝－3，y＝－5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝153.角度二判断三角函数值的符号(1)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在(2)若sinαtanα0，且cosαtanα0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】(1)因为π223π43π2，所以sin20，cos30，tan40.所以sin2·cos3·tan40，所以选A.(2)由sinαtanα0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角．由cosαtanα0可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．【答案】(1)A(2)C角度三以三角函数定义为背景的创新题如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(2，－2)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()【解析】因为P0(2，－2)，所以∠P0Ox＝－π4.因为角速度为1，所以按逆时针方向旋转时间t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－π4.由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sint－π4，因此d＝2sint－π4.令t＝0，则d＝2sin－π4＝2.当t＝π4时，d＝0，故选C.【答案】C(1)用定义法求三角函数值的两种情况①已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．(2)判断三角函数值符号及角位置的方法已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．(3)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤①用边界值定出角的终边位置；②根据不等式(组)定出角的范围；③求交集，找单位圆中公共的部分；④写出角的表达式．1．(2020·江西九江一模)若sinx0，且sin(cosx)0，则角x是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选D.因为－1≤cosx≤1，且sin(cosx)0，所以0cosx≤1，又sinx0，所以角x为第四象限角，故选D.2．已知角α的始边与x轴的正半轴重合