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数学第十章概率第2讲古典概型01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是__________的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__________的和.互斥基本事件2.古典概型(1)特点①试验中所有可能出现的基本事件只有__________个,即__________;②每个基本事件出现的可能性__________,即__________.(2)概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数.有限有限性相等等可能性二、习题改编1.(必修3P125例1改编)从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中,有__________个基本事件.答案:62.(必修3P145A组T5改编)盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为__________.解析:设3个红色球为A1,A2,A3,2个黄色球为B1,B2,从5个球中,随机取出2个球的基本事件有A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2,共10种.其中2个球的颜色不同的有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,共6种,所以所求概率为610=35.答案:35一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽与不发芽”.()(2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个事件是等可能事件.()(3)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同.()(4)“从长为1的线段AB上任取一点C,求满足AC≤13的概率是多少”是古典概型.()××××二、易错纠偏常见误区(1)列举基本事件不准确导致基本事件的个数错误;(2)对事件A的限制条件理解不正确致误.1.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3解析:选D.将2名男同学分别记为x,y,3名女同学分别记为a,b,c.设“选中的2人都是女同学”为事件A,则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x,y),(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10种,其中事件A包含的可能情况有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,故P(A)=310=0.3.故选D.2.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为偶数的概率是__________.解析:总的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.两个不同的数之和为偶数包含的基本事件有(1,3),(1,5),(2,4),(3,5),共4个,所以所求概率P=410=25.答案:25简单的古典概型(师生共研)(2019·高考天津卷)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.【解】(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.②由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=1115.(1)古典概型中基本事件的探求方法(2)利用公式法求解古典概型问题的步骤1.(2020·南昌市第一次模拟测试)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、英语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治,假若他们都对后面三科没有偏好,则他们选课相同的概率为()A.12B.13C.16D.19解析:选B.记地理、化学、生物分别为D,H,S,则小明与小芳的选课方案可能是(D,D),(D,H),(D,S),(H,D),(H,H),(H,S),(S,D),(S,H),(S,S),共9种,小明与小芳选课方案相同的可能是(D,D),(H,H),(S,S),共有3种情况,所以他们选课相同的概率为39=13,故选B.2.(2019·高考全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12解析:选D.将两位男同学分别记为A1,A2,两位女同学分别记为B1,B2,则四位同学排成一列,情况有A1A2B1B2,A1A2B2B1,A2A1B1B2,A2A1B2B1,A1B1A2B2,A1B2A2B1,A2B1A1B2,A2B2A1B1,B1A1A2B2,B1A2A1B2,B2A1A2B1,B2A2A1B1,A1B1B2A2,A1B2B1A2,A2B1B2A1,A2B2B1A1,B1B2A1A2,B1B2A2A1,B2B1A1A2,B2B1A2A1,B1A1B2A2,B1A2B2A1,B2A1B1A2,B2A2B1A1,共有24种,其中2名女同学相邻的有12种,所以所求概率P=12,故选D.3.(2020·重庆市学业质量调研)2018年8月在重庆成功举办了首届“智博会”.某科技开发公司甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为108,72,72,现采用分层抽样的方法从这三个部门中抽取7人到智博会参观.(1)求从甲、乙、丙三个部门分别抽取的人数;(2)从这7人中随机抽取2人向全体员工作汇报,求这2人来自不同部门的概率.解:(1)抽取比例为7:(108+72+72)=1∶36.所以应从甲、乙、丙三个部门分别抽取3人,2人,2人.(2)7人分别记为A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2,从中随机抽取2人的所有可能情况有:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A2A3,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,A3B1,A3B2,A3C1,A3C2,B1B2,B1C1,B1C2,B2C1,B2C2,C1C2,共21种.其中,2人来自不同部门的可能情况有:A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,A3B1,A3B2,A3C1,A3C2,B1C1,B1C2,B2C1,B2C2,共16种.故所求事件的概率为1621.古典概型中的交汇问题(多维探究)角度一古典概型与平面向量的交汇从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为()A.16B.13C.14D.12【解析】由题意可知m=(a,b)有:(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.因为m⊥n,即m·n=0,所以a×1+b×(-1)=0,即a=b,满足条件的有(3,3),(5,5)共2种,故所求的概率为16.【答案】A角度二古典概型与函数(方程)的交汇(2020·益阳、湘潭调研试卷)已知a∈{-2,0,1,2,3},b∈{3,5},则函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数的概率是()A.310B.35C.25D.15【解析】函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数,则a2-2<0,又a∈{-2,0,1,2,3},故只有a=0,a=1满足题意,又b∈{3,5},所以函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数的概率是2×25×2=25.故选C.【答案】C角度三古典概型与解析几何的交汇将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,将第一次向上的点数记为m,第二次向上的点数记为n,曲线C:x2m2+y2n2=1.则曲线C的焦点在x轴上且离心率e≤32的概率等于()A.56B.16C.34D.14【解析】因为离心率e≤32,所以1-n2m2≤32,解得nm≥12.由列举法得,当m=6时,n=5,4,3;当m=5时,n=4,3;当m=4时,n=3,2;当m=3时,n=2;当m=2时,n=1,共9种情况,故其概率为96×6=14.故选D.【答案】D解决古典概型中交汇问题的方法解决与古典概型交汇的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.1.(2020·武汉市部分学校调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次,得到的点数依次记为a和b,则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是()A.736B.12C.1936D.518解析:选C.投掷骰子两次,所得的点数a和b满足的关系为1≤a≤6,a∈N*,1≤b≤6,b∈N*,所以a和b的组合有36种,若方程ax2+bx+1=0有实数解,则Δ=b2-4a≥0,所以b2≥4a.当b=1时,没有a符合条件;当b=2时,a可取1;当b=3时,a可取1,2;当b=4时,a可取1,2,3,4;当b=5时,a可取1,2,3,4,5,6;当b=6时,a可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种,则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率为P=1936,故选C.2.设a∈{2,4},b∈{1,3},函数f(x)=12ax2+bx+1.(1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率;(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的概率.解:(1)由题意-b2×12a≥-1,即b≤a.而(a,b)共有(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),4种,满足b≤a的有3种,故概率为34.(2)由(1)可知,函数f(x)共有4种情况,从中随机抽取两个,有6种抽法.因为函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=a+b,所以这两个函数中的a与b之和应该相等,而只有(2,3),(4,1)这1组满足,故概率为16.核心素养系列20数学建模——求古典概型的概率(2018·高考天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.【解】(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(
本文标题:2021版高考数学一轮复习 第十章 概率 第2讲 古典概型课件 文 新人教A版
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