2021版高考数学一轮复习 第十一章 统计与统计案例 第2讲 用样本估计总体课件 理 北师大版

数学第十一章统计与统计案例第2讲用样本估计总体01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．统计图表(1)频率分布直方图的画法步骤①求极差(即一组数据中_________与_________的差)；②决定_________与_________；③将数据_________；④列_________________；⑤画___________________．最大值最小值组距组数分组频率分布表频率分布直方图(2)频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的_________，就得到频率分布折线图．(3)茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．中点2．样本的数字特征(1)众数：一组数据中_____________________的那个数据，叫做这组数据的众数．(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于_________位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．(3)平均数：把___________________称为a1，a2，…，an这n个数的平均数．a1＋a2＋…＋ann出现次数最多最中间(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是s＝1n[（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2]s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]常用结论1．频率分布直方图的特点(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比．(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．2．平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a.(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.二、教材衍化1．一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为()A．4B．8C．12D．16解析：选B.设频数为n，则n32＝0.25，所以n＝32×14＝8.2.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A．91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5D．92和92解析：选A.因为这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，所以中位数是91＋922＝91.5，平均数x＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.3．如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2，2.5)范围内的居民数有________人．解析：由频率分布直方图可知，月均用水量为[2，2.5)范围内的居民所占频率为0.5×0.5＝0.25，所以月均用水量为[2，2.5)范围内的居民数为100×0.25＝25.答案：254．甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：甲0102203124乙2311021101则机床性能较好的为________．解析：因为x甲＝1.5，x乙＝1.2，s2甲＝1.65，s2乙＝0.76，所以s2乙s2甲，所以乙机床性能较好．答案：乙一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．()(2)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越大．()(3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．()(4)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观．()(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数的估计值．()√√×√√二、易错纠偏常见误区(1)平均数与方差的性质理解出错；(2)中位数、众数、平均数的求法不清导致出错．1．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数x＝5，方差s2＝2，则数据3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为()A．5，2B．16，2C．16，18D．16，9解析：选C.因为x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，所以x1＋x2＋x3＋…＋xnn＝5，所以3x1＋3x2＋3x3＋…＋3xnn＋1＝3×5＋1＝16，因为x1，x2，x3，…，xn的方差为2，所以3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.故选C.2．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为x，则m，n，x的大小关系为________．(用“”连接)解析：由题图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5，6)的平均数，即m＝5.5；又5出现次数最多，故n＝5；x＝130(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97.故nmx.答案：nmx茎叶图(自主练透)1．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()A．3，5B．5，5C．3，7D．5，7解析：选A.根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又它们的平均值相等，所以56＋62＋65＋74＋（70＋x）5＝59＋61＋67＋（60＋y）＋785，解得x＝3.故选A.2．(2020·陕西渭南模拟)已知甲，乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组投中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是()A．甲投中个数的极差是29B．乙投中个数的众数是21C．甲的投中率比乙高D．甲投中个数的中位数是25解析：选D.由茎叶图可知甲投中个数的极差为37－8＝29，故A正确；易知乙投中个数的众数是21，故B正确；甲的投中率为8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋3740×10＝0.535，乙的投中率为9＋11＋13＋14＋18＋19＋20＋21＋21＋2340×10＝0.4225，所以甲的投中率比乙高，C正确；甲投中个数的中位数为22＋242＝23，D不正确，故选D.3．某学生在一门功课的22次考试中，所得分数的茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为()A．117B．118C．118.5D．119.5解析：选B.22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为98－56＝42，将分数从小到大排列，中间两数为76，76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42＋76＝118.茎叶图中的三个关注点(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一．(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小．频率分布直方图(多维探究)角度一求样本的频率、频数(2020·湖南五市十校联考)在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]．其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为()A．39B．35C．15D．11【解析】由频率分布直方图知成绩在[15，18]内的频率为(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78.所以成绩在[13，15)内的频率为1－0.78＝0.22.则成绩在[13，15)内的选手有50×0.22＝11(人)，即这50名选手中获奖的人数为11，故选D.【答案】D角度二求样本的数字特征(2019·高考全国卷Ⅲ改编)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．【解】(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.角度三与概率结合的问题(2020·安徽芜湖一模)某社区为了解该社区退休老人每天的平均户外活动时间，从该社区退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外活动时间(单位：时)，活动时间按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．(1)求图中a的值；(2)估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数；(3)在[1，1.5)，[1.5，2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一个组的概率．【解】(1)由频率分布直方图，可知平均户外活动时间在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，平均户外活动时间在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)内的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a＋0.5a，解得a＝0.30.(2)设中位数为m时．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.720.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.470.5，所以2≤m2.5.所以0.50×(m－2)＝0.5－0.47，解得m＝2.06.故可估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数为2.06时．(3)由题意得平均户外活动时间在[1，1.5)，[1.5，2)内的人数分别为15，20.按分层抽样的方法在[1，1.5)，[1.5，2)内分别抽取3人，4人，从7人中随机抽取2人，共有C27＝21种方法，抽取的两人恰好都在同一个组有C24＋C23＝9种方法，故抽取的2人恰好在同一个组的概率P＝921＝37.频率、频数、样本容量的计算方法频数样本容量＝频率，频数频率＝样本容量，样本容量×频率＝频数．[提醒]制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确．1．在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是()A．15B．18C．20D．25解析：选A.根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，因为频数是40，所以样本容量是400.4＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.01＋0.005)×10＝0.15，所以成绩在80～100