2021版高考数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第4讲 直接证明与间接证明课件 理 北

数学第十二章复数、算法、推理与证明第4讲直接证明与间接证明01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是_________和_________．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又称为：_________________(顺推证法)．综合法分析法由因导果法(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．分析法又称为：_________________(逆推证法)．执果索因法2．间接证明反证法：假设原命题_________，经过正确的推理，最后得出_________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．不成立矛盾3．证题的三种思路(1)综合法证题的一般思路用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．(2)分析法证题的一般思路分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．(3)反证法证题的一般思路反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．常用结论三种证明方法的策略1．分析法与综合法的应用特点：对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用．2．分析法证明的注意点：要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”．3．利用反证法证明的特点：要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．二、教材衍化1．若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．PQB．P＝QC．PQD．由a的取值确定解析：选A.P2＝2a＋13＋2a2＋13a＋42，Q2＝2a＋13＋2a2＋13a＋40，所以P2Q2，又因为P0，Q0，所以PQ.2．设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，则ax＋cy＝________．解析：由题意，得x＝a＋b2，y＝b＋c2，b2＝ac，所以xy＝（a＋b）（b＋c）4，ax＋cy＝ay＋cxxy＝a·b＋c2＋c·a＋b2xy＝a（b＋c）＋c（a＋b）2xy＝ab＋bc＋2ac2xy＝ab＋bc＋ac＋b22xy＝（a＋b）（b＋c）2xy＝（a＋b）（b＋c）2×（a＋b）（b＋c）4＝2.答案：2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．()(5)常常用分析法寻找解题的思路与方法，用综合法展现解决问题的过程．()√×××√二、易错纠偏常见误区(1)利用反证法证明“至少”“至多”问题时反设不正确；(2)利用分析法证明时寻求的条件不充分，造成最后所求索的原因错误；(3)用反证法证明时对含有逻辑联结词“且”“或”的结论否定出错．1．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”，假设正确的是()A．假设三个内角都不大于60度B．假设三个内角都大于60度C．假设三个内角至多有一个大于60度D．假设三个内角至多有两个大于60度解析：选B.根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60度．故选B.2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.（a＋b）22－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：选D.a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.3．利用反证法证明“若x＋y≤0，则x≤1或y≤1”时，正确的反设是_____________________________________________．答案：若x＋y≤0，则x1且y1综合法(师生共研)数列{an}满足an＋1＝an2an＋1，a1＝1.(1)证明：数列1an是等差数列；(2)(一题多解)求数列1an的前n项和Sn，并证明1S1＋1S2＋…＋1Snnn＋1.【解】(1)证明：因为an＋1＝an2an＋1，所以1an＋1＝2an＋1an，化简得1an＋1＝2＋1an，即1an＋1－1an＝2，故数列1an是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1an＝2n－1，所以Sn＝n（1＋2n－1）2＝n2.法一：1S1＋1S2＋…＋1Sn＝112＋122＋…＋1n211×2＋12×3＋…＋1n（n＋1）＝1－12＋12－13＋…＋(1n－1n＋1)＝1－1n＋1＝nn＋1.法二：1S1＋1S2＋…＋1Sn＝112＋122＋…＋1n21，又因为1nn＋1，所以1S1＋1S2＋…＋1Snnn＋1.综合法的证题思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C＝2π3，求证：5a＝3b.证明：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由C＝2π3，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，即5a＝3b.2．(一题多解)在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．证明：法一：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即12sin2B－12sin2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝π2，即△ABC是直角三角形．法二：由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由余弦定理，得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．分析法(师生共研)已知a，b∈R，abe(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：baab.【证明】因为abe，ba0，ab0，所以要证baab，只需证alnbblna，只需证lnbblnaa.取函数f(x)＝lnxx，因为f′(x)＝1－lnxx2，所以当xe时，f′(x)0，所以函数f(x)在(e，＋∞)上是减少的．所以当abe时，有f(b)f(a)，即lnbblnaa.得证．分析法的证题思路(1)分析法的证题思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．[提醒]要注意书写格式的规范性．已知a0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明：要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只要证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.因为a0，故只要证a2＋1a2＋22≥a＋1a＋22，即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22a＋1a＋2，从而只要证2a2＋1a2≥2a＋1a，只要证4a2＋1a2≥2a2＋2＋1a2，即证a2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．反证法(多维探究)角度一证明否定性命题已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．【解】(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝12an，所以{an}是首项为1，公比为12的等比数列，所以an＝12n－1.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N+)，则2·12q＝12p＋12r，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N+.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不等立．所以假设不成立，原命题得证．角度二证明存在性问题已知四棱锥S­ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．【解】(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，所以SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.因为BC∥AD，BC⊆/平面SAD，AD平面SAD.所以BC∥平面SAD，而BC∩BF＝B，所以平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，所以假设不成立．所以不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.角度三证明唯一性问题已知f(x)＝ln(1＋ex)－mx(x∈R)，对于给定区间(a，b)，存在x0∈(a，b)，使得f（b）－f（a）b－a＝f′(x0)成立，求证：x0唯一．【证明】假设存在x′0，x0∈(a，b)，且x′0≠x0，使得f（b）－f（a）b－a＝f′(x0)，f（b）－f（a）b－a＝f′(x′0)成立，即f′(x0)＝f′(x′0)．因为f′(x)＝ex1＋ex－m，记g(x)＝f′(x)，所以g′(x)＝ex（1＋ex）20，即f′(x)是(a，b)上的增函数．所以x0＝x′0，这与x′0≠x0矛盾，所以x0是唯一的．用反证法证明数学命题需把握的三点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面．(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证．(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．1．设a0，b0，且a2＋b2＝1a2＋1b2.证明：a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立．证明：假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则有a2＋a＋b2＋b4.由a2＋b2＝1a2＋1b2，得a2b2＝1，因为a0，b0，所以