2021版高考数学一轮复习 第六章 数列 第1讲 数列的概念及简单表示法课件 文 新人教A版

数学第六章数列第1讲数列的概念及简单表示法01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．数列的有关概念(1)数列的定义按照____________排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的_______．一定顺序项(2)数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数__________无穷数列项数__________按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1__________an其中n∈N*递减数列an＋1__________an常数列an＋1＝an有限无限＞＜(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是__________、__________和__________．分类标准类型满足条件按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期数列对n∈N*，存在正整数常数k，使an＋k＝an列表法图象法解析式法2．数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列{an}的第n项与__________之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝___，n＝1，_________，n≥2.序号nS1Sn－Sn－1常用结论1．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n}上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．2．在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1，an≥an＋1，若an最小，则an≤an－1，an≤an＋1.二、习题改编1．(必修5P33A组T4改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（－1）nan－1(n≥2)，则a5等于()A.32B.53C.85D．23解析：选D.a2＝1＋（－1）2a1＝2，a3＝1＋（－1）3a2＝12，a4＝1＋（－1）4a3＝3，a5＝1＋（－1）5a4＝23.2．(必修5P33A组T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝__________．答案：5n－4一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．()(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示．()(3)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．()(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．()(5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．()(6)若数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.()×××√××二、易错纠偏常见误区(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N*或其子集{1，2，…，n}；(2)根据Sn求an时忽视对n＝1的验证．1．在数列－1，0，19，18，…，n－2n2中，0.08是它的第__________项．解析：依题意得n－2n2＝225，解得n＝10或n＝52(舍)．答案：102．已知Sn＝2n＋3，则an＝__________．解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝5，n＝1，2n－1，n≥2.答案：5，n＝1，2n－1，n≥2由数列的前几项求数列的通项公式(师生共研)(1)数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是()A．an＝n2－(n－1)B．an＝n2－1C．an＝n（n＋1）2D．an＝n（n－1）2(2)已知数列{an}为12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则数列{an}的一个通项公式是__________．【解析】(1)设此数列为{an}，则由题意可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4.…所以第n项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）2，所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式an＝n（n＋1）2.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－2－32，故原数列可变为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…故其通项公式可以为an＝(－1)n·2n－32n.【答案】(1)C(2)an＝(－1)n·2n－32n解决此类问题，需抓住下面的特征：(1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项．(2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．(3)相邻项(或其绝对值)的变化特征．(4)拆项、添项后的特征．(5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律．[注意]根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的！1．数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝__________．解析：数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an＝2n＋1n2＋1.答案：2n＋1n2＋12．数列3，7，11，15，…的一个通项公式是__________．解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a2n－a2n－1＝4，所以a2n＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝4n－1.答案：an＝4n－1由an与Sn的关系求通项公式an(师生共研)(1)(2020·湖南三市联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝a1（4n－1）3，若a4＝32，则a1的值为()A.12B.14C.18D．116(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则a1＝__________，{an}的通项公式为__________．【解析】(1)因为Sn＝a1（4n－1）3，a4＝32，所以S4－S3＝255a13－63a13＝32，所以a1＝12，故选A.(2)数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，所以(2n－1)an＝2，所以an＝22n－1.当n＝1时，a1＝2，上式也成立．所以an＝22n－1.【答案】(1)A(2)2an＝22n－1(1)已知Sn求an的三个步骤①先利用a1＝S1求出a1；②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系式，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．(2)Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝__________．解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.所以an＝4，n＝1，2n＋1，n≥2.答案：4，n＝1，2n＋1，n≥22．若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式an＝__________．解析：由Sn＝23an＋13，得当n≥2时，Sn－1＝23an－1＋13，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝23a1＋13，所以a1＝1，所以{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.答案：(－2)n－1由递推关系求数列的通项公式(师生共研)分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N*)；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)．【解】(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.(2)由于an＋1an＝2n，故a2a1＝21，a3a2＝22，…，anan－1＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，得ana1＝21＋2＋…＋(n－1)＝2n（n－1）2，故an＝2n（n－1）2，所以数列的通项公式为an＝2n（n－1）2.(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以an＋1＋1an＋1＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.由递推关系求数列的通项公式的常用方法1．在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，则an＝__________．解析：a1＝2，an＋1＝an＋2n－1⇒an＋1－an＝2n－1⇒an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，则an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＝1－2n－11－2＋2＝2n－1＋1.答案：2n－1＋12．若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝__________．解析：由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得anan－1＝nn＋1(n≥2)．所以an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a3a2·a2a1·a1＝nn＋1·n－1n·n－2n－1·…·34×23×1＝2n＋1，(*)又a1也满足(*)式，所以an＝2n＋1.答案：2n＋1数列的函数特征(多维探究)角度一数列的单调性已知数列{an}的通项公式为an＝3n＋k2n，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为()A．(3，＋∞)B．(2，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)【解析】因为an＋1－an＝3n＋3＋k2n＋1－3n＋k2n＝3－3n－k2n＋1，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝3－3n－k2n＋1＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D.【答案】D(1)解决数列单调性问题的三种方法①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；②用作商比较法，根据an＋1an(an0或an0)与1的大小关系进行判断；③结合相应函数的图象直观判断．(2)求数列最大项或最小项的方法①可以利用不等式组an－1≤an，an≥an＋1(n≥2)找到数列的最大项；②利用不等式组an－1≥an，an≤an＋1(n≥2)找到数列的最小项．角度二数列的周期性等差数列{an}的公差d＜0，且a21＝a211，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为()A．5B．6C．5或6D．6或7【解析】由a21＝a211，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.因为d＜0，所以{an}是递减数列，所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.【答案】C解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．已知数列{an}满足an＝(n－λ)2n(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是__________．解析：因为数列{an}是递增数列，所以an＋1＞an，所以(n＋1－λ)2n＋1＞(n－λ)2n，化为λ＜n＋2，对∀n∈N*都成立．所以λ＜3.答案：(－∞，3)核心素养系列13逻辑推理——数列的通项公式逻