2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程课件 文 新人教A版

数学第九章平面解析几何第3讲圆的方程01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．圆的方程标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心__________半径为__________一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件：________________圆心：____________半径：______________(a，b)rD2＋E2－4F0－D2，－E2r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2__________r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2__________r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2__________r2.＞＝＜常用结论1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．二元二次方程表示圆的条件对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F0这一条件．二、习题改编1．(必修2P123练习T2改编)圆x2＋y2－2x＋4y－6＝0的圆心坐标__________，半径__________．答案：(1，－2)112．(必修2P120练习T1(2)改编)若圆的圆心为(－8，3)，且经过点(－5，0)，则圆的标准方程为__________．答案：(x＋8)2＋(y－3)2＝183．(必修2P124A组T2(2)改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为__________．答案：x2＋y2－2x＝0一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.()√×√×二、易错纠偏常见误区(1)忽视方程表示圆的条件D2＋E2－4F0；(2)错用点与圆的位置关系判定．1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()A．14m1B．m14或m1C．m14D．m1解析：选B.由(4m)2＋4－4×5m0，得m14或m1.2．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是__________．解析：因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)24，所以－1a1.答案：(－1，1)求圆的方程(师生共研)(1)圆心在x轴上，半径长为2，且过点A(2，1)的圆的方程是()A．(x－2－3)2＋y2＝4B．(x－2＋3)2＋y2＝4C．(x－2±3)2＋y2＝4D．(x－2)2＋(y－1)2＝4(2)(一题多解)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为__________．【解析】(1)根据题意可设圆的方程为(x－a)2＋y2＝4，因为圆过点A(2，1)，所以(2－a)2＋12＝4，解得a＝2±3，所以所求圆的方程为(x－2±3)2＋y2＝4.(2)法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即（2a＋3－2）2＋（a＋3）2＝（2a＋3＋2）2＋（a＋5）2，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得（2－a）2＋（－3－b）2＝r2，（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，a－2b－3＝0，解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2，－E2，由题意得－D2－2×－E2－3＝0，4＋9＋2D－3E＋F＝0，4＋25－2D－5E＋F＝0，解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.【答案】(1)C(2)x2＋y2＋2x＋4y－5＝0求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．[提醒]解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．1．(2020·内蒙古巴彦淖尔月考)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，则三角形OAB的外接圆方程是__________．解析：设三角形OAB的外接圆方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由点O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)在圆上可得F＝0，4＋16＋2D＋4E＋F＝0，36＋4＋6D＋2E＋F＝0，解得F＝0，D＝－6，E＝－2，故三角形的外接圆方程为x2＋y2－6x－2y＝0.答案：x2＋y2－6x－2y＝02．若圆C经过坐标原点与点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________．解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，设圆心为(2，m)，又因为圆与直线y＝1相切，所以22＋m2＝|1－m|，解得m＝－32，所以圆C的方程为(x－2)2＋y＋322＝254.答案：(x－2)2＋y＋322＝254与圆有关的最值问题(多维探究)角度一借助几何性质求最值已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．【解】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图1)．所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图2)．所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如μ＝y－bx－a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．角度二建立函数关系求最值设点P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|PA→＋PB→|的最大值为__________．【解析】由题意，知PA→＝(－x，2－y)，PB→＝(－x，－2－y)，所以PA→＋PB→＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|PA→＋PB→|＝4x2＋4y2＝26x－5.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|PA→＋PB→|的值最大，最大值为26×5－5＝10.【答案】10建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．1．(2020·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA→·PB→的最大值为__________．解析：由题意，知PA→＝(2－x，－y)，PB→＝(－2－x，－y)，所以PA→·PB→＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA→·PB→＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，PA→·PB→的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：122．设点P是函数y＝－4－（x－1）2图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为__________．解析：函数y＝－4－（x－1）2的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆(包括与x轴的交点)．令点Q的坐标为(x，y)，则x＝2a，y＝a－3，得y＝x2－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1，0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝|1－2×0－6|12＋（－2）2＝52，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是5－2.答案：5－2与圆有关的轨迹问题(师生共研)已知A(2，0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.与圆有关的轨迹问题的四种求法已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解：(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放