2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第3讲 圆的方程课件 理 北师大版

数学第九章平面解析几何第3讲圆的方程01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．圆的定义及方程定义平面内与_________的距离等于_________的点的集合(轨迹)叫做圆标准方程______________________(r＞0)圆心：_____，半径：_____一般方程__________________________(D2＋E2－4F＞0)圆心：_____________，半径：12D2＋E2－4F定点定长(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b)rx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0－D2，－E22.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2_________r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2_________r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2_________r2.＞＝＜常用结论几种常见圆的方程的设法标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2＋y2＝r2x2＋y2－r2＝0过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Dx＋Ey＋14D2＝0与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2x2＋y2＋Dx＋Ey＋14E2＝0二、教材衍化1．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1B．(x－3)2＋(y－1)2＝1C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1答案：A2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为________，半径为________．解析：x2＋y2－4x＋6y＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.所以圆心坐标为(2，－3)，半径为13.答案：(2，－3)133．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．解析：设圆心坐标为C(a，0)，因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，所以|CA|＝|CB|，即（a＋1）2＋1＝（a－1）2＋9，解得a＝2，所以圆心为C(2，0)，半径|CA|＝（2＋1）2＋1＝10，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案：(x－2)2＋y2＝10一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.()(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()√√×(4)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆．()(5)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是1，12.()(6)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0.()×××二、易错纠偏常见误区(1)忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F0；(2)错用点与圆的位置关系；(3)不能正确确定圆心坐标．1．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________．解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得x＋m22＋(y－1)2＝m24－2.由其表示圆可得m24－20，解得m－22或m22.答案：(－∞，－22)∪(22，＋∞)2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1，1)在圆内，所以(1－a)2＋(a＋1)24，即－1a1.答案：(－1，1)3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．解析：由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a，1)(a0)，又圆与直线4x－3y＝0相切，所以|4a－3|5＝1，解得a＝2或a＝－12(舍去)．所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1求圆的方程(多维探究)角度一已知不共线的三点，求圆的方程(一题多解)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为________．【解析】法一(待定系数法)：根据题意，设圆E的圆心坐标为(a，0)(a0)，半径为r，则圆E的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2(a0)．由题意得a2＋12＝r2，（2－a）2＝r2，a2＋（－1）2＝r2，解得a＝34，r2＝2516，所以圆E的标准方程为x－342＋y2＝2516.法二(待定系数法)：设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，则由题意得1＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，1－E＋F＝0，解得D＝－32，E＝0，F＝－1，所以圆E的一般方程为x2＋y2－32x－1＝0，即x－342＋y2＝2516.法三(几何法)：因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－12＝2(x－1)上．又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为34，0.则圆E的半径为EB＝2－342＋（0－0）2＝54，所以圆E的标准方程为x－342＋y2＝2516.【答案】x－342＋y2＝2516角度二已知两点及圆心所在直线，求圆的方程(一题多解)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．【解】法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即（2a＋3－2）2＋（a＋3）2＝（2a＋3＋2）2＋（a＋5）2，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝10.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得（2－a）2＋（－3－b）2＝r2，（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，a－2b－3＝0，解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2，－E2.由题意得－D2－2×－E2－3＝0，4＋9＋2D－3E＋F＝0，4＋25－2D－5E＋F＝0，解得D＝2，E＝4，F＝－5.故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.角度三已知直线与圆的位置关系，求圆的方程(1)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，且圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为________．(2)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为__________________．【解析】(1)x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为|－4|2＝22，所以圆的半径为2.又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由y＝－x和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.(2)设圆C的圆心为(a，b)(b0)，由题意得a＝2b0，且a2＝(3)2＋b2，解得a＝2，b＝1.所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.【答案】(1)(x－1)2＋(y＋1)2＝2(2)(x－2)2＋(y－1)2＝4求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．[提醒]解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．1．(一题多解)(2020·陕西西安一模)已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1，0)和(2，3)，则圆C的半径为()A．8B．22C．5D．5解析：选D.法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)．因为圆C经过点(－1，0)和(2，3)，所以（a＋1）2＋b2＝r2，（a－2）2＋（b－3）2＝r2，所以a＋b－2＝0，①又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以|a|＝|b|，②由①②得a＝b＝1，所以圆C的半径为5，故选D.法二：因为圆C经过点M(－1，0)和N(2，3)，所以圆心C在线段MN的垂直平分线y＝－x＋2上，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心C到两坐标的距离相等，所以圆心C在直线y＝±x上，因为直线y＝－x和直线y＝－x＋2平行，所以圆心C为直线y＝x和直线y＝－x＋2的交点(1，1)，所以圆C的半径为5.故选D.2．(2020·湖北“荆、襄、宜七校考试联盟”期末)已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，则圆C的方程为________．解析：设所求圆的方程为(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0，a≠0，即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，所以圆心为－a2，－a2，因为圆心在直线2x－y－3＝0，所以－a＋a2－3＝0，所以a＝－6.所以圆的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝34.答案：(x－3)2＋(y－3)2＝34与圆有关的轨迹问题(师生共研)已知过原点O的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹方程．【解】(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．(2)设M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥OM，所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得yx－3·yx＝－1，整理得x－322＋y2＝94，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立．设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝45，此时方程为95x2－6x＋5＝0，解得x＝53，因此53x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹的方程为x－322＋y2＝9453x≤3.求与圆有关的轨迹方程的方法已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)