2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线方程课件 文 新人

数学第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线方程01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l__________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__________．(3)范围：直线l的倾斜角的范围是__________．向上方向0°[0，π)2．直线的斜率(1)直线l的倾斜角为α≠π2，则l的斜率k＝__________．(2)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝__________．tanαy2－y1x2－x13．直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式_______________不能表示______________的直线斜截式y＝kx＋b两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不能表示________________的直线截距式xa＋yb＝1不能表示______________的直线和__________的直线一般式________________________________可以表示所有类型的直线y－y0＝k(x－x0)斜率不存在平行于坐标轴平行于坐标轴过原点Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)常用结论1．直线的倾斜角和斜率的关系(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tanα，当α∈0，π2时，α越大，斜率k就越大，同样α∈π2，π时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠π2时就不是了．2．识记几种特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0.(2)y轴：x＝0.(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.二、习题改编1．(必修2P95练习T1改编)经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为__________．答案：x－y－5＝02．(必修2P100A组T1(4)改编)经过点A(－1，0)，B(2，－2)两点的直线方程为__________．答案：2x＋3y＋2＝03．(必修2P90B组T5改编)若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为__________．答案：12x－y－18＝0一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()××××√1．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D.由直线的方程得直线的斜率为k＝－33，设倾斜角为α，则tanα＝－33，所以α＝5π6.二、易错纠偏常见误区(1)对倾斜角的取值范围不清楚；(2)忽略截距为0的情况．2．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________．解析：当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0直线的倾斜角与斜率(典例迁移)(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A.0，πB.0，π4∪3π4，πC.0，π4D.0，π4∪π2，π(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________．【解析】(1)设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B.(2)如图，因为kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，所以直线l的斜率k∈－∞，－3∪1，＋∞.【答案】(1)B(2)－∞，－3∪1，＋∞【迁移探究1】(变条件)若本例(1)的条件变为：直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围为__________．解析：直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.答案：π4，π3【迁移探究2】(变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，3)，所以kAP＝1－02－（－1）＝13，kBP＝3－00－（－1）＝3.由图可知，直线l斜率的取值范围为13，3.(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤①求出斜率k＝tanα的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．(2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率．1．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为__________．解析：因为kAC＝5－36－4＝1，kAB＝a－35－4＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：42．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈π6，π4∪2π3，π，则k的取值范围是__________．解析：当α∈π6，π4时，k＝tanα∈33，1；当α∈2π3，π时，k＝tanα∈[－3，0)．综上得k∈[－3，0)∪33，1.答案：[－3，0)∪33，1直线的方程(师生共研)(1)若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的13，则该直线的方程为__________．(2)若直线经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为__________．【解析】(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线的方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5，2)代入y＝kx中，得k＝－25，此时，直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.②当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－12，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.综上所述，所求直线的方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.【答案】(1)4x＋3y－13＝0(2)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0巧设直线方程的方法(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；(2)已知两点或可通过计算表示出两点的坐标，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；(3)当题目涉及直线在x轴、y轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x轴、y轴上的截距为0的情况；(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．[注意](1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x＝my＋a；(2)当已知直线经过点(0，a)，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx＋a；(3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx.1．已知△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为()A．2x＋y－12＝0B．2x－y－12＝0C．2x＋y－8＝0D．2x－y＋8＝0解析：选C.由题知M(2，4)，N(3，2)，中位线MN所在直线的方程为y－42－4＝x－23－2，整理得2x＋y－8＝0.2．经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线的方程为__________．解析：由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.答案：x－y＋1＝0或x＋y－7＝0直线方程的综合应用(典例迁移)(一题多解)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．【解】法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k0)，A2－1k，0，B(0，1－2k)，S△AOB＝12(1－2k)·2－1k＝124＋（－4k）＋－1k≥12(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－1k，即k＝－12时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.法二：设直线l：xa＋yb＝1，且a0，b0，因为直线l过点M(2，1)，所以2a＋1b＝1，则1＝2a＋1b≥22ab，故ab≥8，故S△AOB的最小值为12×ab＝12×8＝4，当且仅当2a＝1b＝12时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.【迁移探究】(变问法)在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解：由本例法二知，2a＋1b＝1，a0，b0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·2a＋1b＝3＋ab＋2ba≥3＋22，当且仅当a＝2＋2，b＝1＋2时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y＝2＋2.直线方程综合问题的两大类型及其解法(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．1．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A．[－2，2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2，0)∪(0，2]D．(－∞，＋∞)解析：选C.令x＝0，得y＝b2，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为12b2|－b|＝14b2，且b≠0，14b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．2．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为__________．解析：直线方程可化为x2＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2b－122＋12，由于0≤b≤1，故当b＝12时，ab取得最大值12.答案：12本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放