2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 理 北

数学第九章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按___________方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴_________或重合时，规定它的倾斜角为_________．(2)倾斜角的范围为_________．逆时针平行0°[0，π)2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1＝y1－y2x1－x2.3．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)______________不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b_________________不含垂直于x轴的直线两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)__________________________________不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)y－y1＝k(x－x1)y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)名称已知条件方程适用范围截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b______________________________________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式______________________________________平面直角坐标系内的直线都适用xa＋yb＝1(a≠0，b≠0)Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)常用结论1．直线倾斜角和斜率的关系不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k＝tanα，当α∈0，π2时，α越大，斜率k就越大，同样α∈π2，π时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠π2时就不是了．2．五种特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0.(2)y轴：x＝0.(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)．(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)．(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.二、教材衍化1．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．解析：由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.答案：12．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________．解析：令x＝0，得y＝k4；令y＝0，得x＝－k3，则有k4－k3＝2，所以k＝－24.答案：－24一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(2)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()××××√二、易错纠偏常见误区(1)由直线方程求斜率的思路不清；(2)忽视斜率和截距对直线位置的影响；(3)忽视直线斜率不存在的情况；(4)忽视截距为0的情况．1．直线l：xsin30°＋ycos150°＋a＝0的斜率为________．解析：设直线l的斜率为k，则k＝－sin30°cos150°＝33.答案：332．如果A·C0且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．解析：由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA0，在y轴上的截距－CB0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三3．过直线l：y＝x上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．解析：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－2k，依题意有12×2－2k×2＝2，即1－1k＝1，解得k＝12，所以直线m的方程为y－2＝12(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.答案：x－2y＋2＝0或x＝24．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0.答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0直线的倾斜角与斜率(典例迁移)(1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A.0，πB．0，π4∪3π4，πC.0，π4D．0，π4∪π2，π(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．【解析】(1)设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα.因为sinα∈[－1，1]，所以－1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B.(2)如图，因为kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，所以直线l的斜率k∈－∞，－3∪1，＋∞.【答案】(1)B(2)－∞，－3∪1，＋∞【迁移探究1】(变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解：因为P(－1，0)，A(2，1)，B(0，3)，所以kAP＝1－02－（－1）＝13，kBP＝3－00－（－1）＝3.如图可知，直线l斜率的取值范围为13，3.【迁移探究2】(变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．解：如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤①求出斜率k＝tanα的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．(2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率．[提醒]直线倾斜角的范围是0，π，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2，π2与π2，π三种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当倾斜角α∈0，π2时，斜率k∈0，＋∞；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈－∞，0.1．若点A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．解析：因为kAC＝5－36－4＝1，kAB＝a－35－4＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.答案：42．已知点(－1，2)和33，0在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．解析：点(－1，2)和33，0在直线l：ax－y＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1)33a＋10，解得－3a－1，即直线l的斜率的范围是(－3，－1)，故其倾斜角的取值范围是2π3，3π4.答案：2π3，3π4求直线的方程(师生共研)根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5.【解】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0≤α＜π)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点线距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．(3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；(2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.直线方程的综合问题(典例迁移)(一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．【解】法一：设直线l的方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，将点P(3，2)代入得3a＋2b＝1≥26ab，得ab≥24，从而S△AOB＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时等号成立，这时k＝－ba＝－23，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.所以△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k0，可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k0)，则A3－2k，0，B(0，2－3k)，S△ABO＝12(2－3k)3－2k＝1212＋（－9k）＋4（－k）≥1212＋2（－9k）·4（－k）＝12×(12＋12)＝12，当且仅当－9k＝4（－k），即k＝－23时，等号成立．此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0.所以△ABO的面积的最小值为12，所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.【迁移探究1】(变问法)若本例条件不变，求|OA|＋|OB|的最小值及此时l的方程．解：法一：由原例题法一知3a＋2b＝1.因为|OA|＋|OB|＝a＋b，所以(a＋b)3a＋2b＝5＋3ba＋2ab≥5＋26.当且仅当2a＝3b，且3a＋2b＝1，即a＝3＋6，b＝2＋6时，|OA|＋|OB|的最小值为5＋26.此时，直线l的方程为x3＋6＋y2＋6＝1，即6x＋3y－6－36＝0.法二：由原例题解法二知|OA|＋|OB|＝3－2k＋2－3k(k0)＝5＋－2k＋(－3k)≥