2021版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第5讲 指数函数课件 文 新人教A版

数学第二章函数概念与基本初等函数第5讲指数函数01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学剖优一、知识梳理指数函数的图象及性质函数y＝ax(a0，且a≠1)图象0a1a1图象特征在x轴_______，过定点_______当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域_______值域__________单调性______________函数值变化规律当x＝0时，_______当x0时，_______；当x0时，_______当x0时，_______；当x0时，_______上方(0，1)R(0，＋∞)减增y＝1y10y10y1y1常用结论1．指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象越高，底数越大．二、习题改编1．(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象经过点P2，12，则f(－1)＝_______．答案：22．(必修1P59A组T7改编)已知a＝35－13，b＝35－14，c＝32－34，则a，b，c的大小关系是_______．解析：因为y＝35x是减函数，所以35－1335－14350，即ab1，又c＝32－34320＝1，所以cba.答案：cba一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝a－x是R上的增函数．()(2)函数y＝ax2＋1(a1)的值域是(0，＋∞)．()(3)函数y＝2x－1是指数函数．()(4)若aman(a0，且a≠1)，则mn.()××××二、易错纠偏常见误区(1)不理解指数函数概念出错；(2)忽视底数a的范围出错．1．函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，则a的值为_______．解析：因为函数y＝(a2－5a＋5)ax是指数函数，所以a2－5a＋5＝1，解得a＝1或a＝4.又因为指数函数y＝ax的底数a需满足a0且a≠1，所以a＝4.答案：42．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是_______．解析：由题意知0a2－11，即1a22，得－2a－1或1a2.答案：(－2，－1)∪(1，2)指数函数的图象及应用(典例迁移)(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0(2)若方程|3x－1|＝k有一解，则k的取值范围为_______．【解析】(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b0.(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，即方程有一解．【答案】(1)D(2){0}∪[1，＋∞)【迁移探究1】(变条件)若本例(2)的条件变为：方程3|x|－1＝k有两解，则k的取值范围为_______．解析：作出函数y＝3|x|－1与y＝k的图象如图所示，数形结合可得k0.答案：(0，＋∞)【迁移探究2】(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋k的图象不经过第二象限，则实数k的取值范围是_______．解析：作出函数y＝|3x－1|＋k的图象如图所示．由图象知k≤－1，即k∈(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]【迁移探究3】(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围如何？解：由本例(2)作出的函数y＝|3x－1|的图象知其在(－∞，0]上单调递减，所以k∈(－∞，0]．指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住关键点．(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．1．已知函数f(x)＝ax－2＋2(a0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为()A．(0，1)B．(2，3)C．(3，2)D．(2，2)解析：选B.令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．2．(2020·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是()解析：选B.因为－|x－1|≤0，所以0e－|x－1|≤e0，即0y＝e－|x－1|≤1，故选B.3．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______．解析：(1)当0a1时，y＝|ax－1|的图象如图①.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以02a1，所以0a12.(2)当a1时，y＝|ax－1|的图象如图②，而y＝2a1不可能与y＝|ax－1|有两个交点．综上，0a12.答案：0，12指数函数的性质及应用(多维探究)角度一比较指数幂的大小已知a＝1223，b＝2－43，c＝1213，则下列关系式中正确的是()A．cabB．bacC．acbD．abc【解析】把b化简为b＝1243，而函数y＝12x在R上为减函数，又432313，所以124312231213，即bac.【答案】B比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系．三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．角度二解简单的指数方程或不等式不等式12x2＋ax122x＋a－2恒成立，则a的取值范围是_______．【解析】由题意，y＝12x是减函数，因为12x2＋ax122x＋a－2恒成立，所以x2＋ax2x＋a－2恒成立，所以x2＋(a－2)x－a＋20恒成立，所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)0，即(a－2)(a－2＋4)0，即(a－2)(a＋2)0，解得－2a2，即a的取值范围是(－2，2)．【答案】(－2，2)解简单的指数方程或不等式问题时，应利用指数函数的单调性转化为一般方程或不等式求解．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．角度三研究指数型函数的性质(1)函数f(x)＝12－x2＋2x＋1的单调递减区间为_______．(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是_______．【解析】(1)设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝12u在R上为减函数，所以函数f(x)＝12－x2＋2x＋1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以函数f(x)的减区间为(－∞，1]．(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间m2，＋∞上单调递增，在区间－∞，m2上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．【答案】(1)(－∞，1](2)(－∞，4]求指数型复合函数的单调区间和值域的方法(1)形如y＝af(x)(a0，且a≠1)的函数求值域时，要借助换元法：令u＝f(x)，先求出u＝f(x)的值域，再利用y＝au的单调性求出y＝af(x)的值域．(2)形如y＝af(x)(a0，且a≠1)的函数单调性的判断，首先确定定义域D，再分两种情况讨论：当a1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相同；当0a1时，若f(x)在区间(m，n)上(其中(m，n)⊆D)具有单调性，则函数y＝af(x)在区间(m，n)上的单调性与f(x)在区间(m，n)上的单调性相反．1．函数y＝12x2＋2x－1的值域是()A．(－∞，4)B．(0，＋∞)C．(0，4]D．[4，＋∞)解析：选C.设t＝x2＋2x－1，则y＝12t.因为0121，所以y＝12t为关于t的减函数．因为t＝(x＋1)2－2≥－2，所以0y＝12t≤12－2＝4，故所求函数的值域为(0，4]．2．已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x0时，1bxax，则()A．0ba1B．0ab1C．1baD．1ab解析：选C.因为x0时，1bx，所以b1.因为x0时，bxax，所以x0时，abx1.所以ab1，所以ab.所以1ba.故选C.思想方法系列3换元法求解指数型函数的有关问题已知函数f(x)＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，求m的取值范围．【解】设t＝2x，则f(x)＝4x＋m·2x－2＝t2＋mt－2.因为x∈[－2，2]，所以t∈14，4.又函数f(x)＝4x＋m·2x－2在区间[－2，2]上单调递增，即f(x)＝t2＋mt－2在区间14，4上单调递增，故有－m2≤14，解得m≥－12.所以m的取值范围为－12，＋∞.(1)此例题利用了换元法，把函数f(x)转化为y＝t2＋mt－2，其中t∈14，4，将问题转化为求二次函数在闭区间上的单调性问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有ax与a2x(a0且a≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t＝ax进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数型函数的类似问题，也要用换元法．已知函数f(x)＝12ax，a为常数，且函数的图象过点(－1，2)．(1)求a的值；(2)若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．解：(1)由已知得12－a＝2.解得a＝1.(2)由(1)知f(x)＝12x，又g(x)＝f(x)，则4－x－2＝12x，所以14x－12x－2＝0，令12x＝t，则t0，t2－t－2＝0，即(t－2)(t＋1)＝0，又t0，故t＝2，即12x＝2.解得x＝－1，故满足条件的x的值为－1.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放