2021版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第6讲 空间向量及其运算课件 理 北师大版

数学第八章立体几何第6讲空间向量及其运算01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析03高效演练分层突破一、知识梳理1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得_________．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_______________．(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得_________________．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．a＝λbp＝xa＋ybp＝xa＋yb＋zc2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则_________叫做向量a与b的夹角，记作_________．通常规定______≤〈a，b〉≤_______．若〈a，b〉＝_________，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积两个非零向量a，b的数量积a·b＝________________________．∠AOB〈a，b〉0ππ2|a||b|cos〈a，b〉(3)向量的数量积的性质①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；②a⊥b⇔_________；③|a|2＝a·a＝a2；④|a·b|_________|a||b|.(4)向量的数量积满足如下运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝____________(分配律)．a·b＝0≤a·b＋a·c3．空间向量的坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝_____________________，a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23.(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB→＝OB→－OA→＝___________________________．a1b1＋a2b2＋a3b3(x2－x1，y2－y1，z2－z1)4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB→为直线l的方向向量，与AB→平行的任意______________也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．非零向量(2)平面的法向量①定义：与平面_________的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．②确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.垂直5．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔_________l1⊥l2n1⊥n2⇔_________直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔_________l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0n1＝λn2n1·n2＝0n·m＝0常用结论1．向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．二、教材衍化1.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则BM→＝________(用a，b，c表示)．解析：BM→＝BB1→＋B1M→＝AA1→＋12(AD→－AB→)＝c＋12(b－a)＝－12a＋12b＋c.答案：－12a＋12b＋c2．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．解析：|EF→|2＝EF→2＝(EC→＋CD→＋DF→)2＝EC→2＋CD→2＋DF→2＋2(EC→·CD→＋EC→·DF→＋CD→·DF→)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，所以|EF→|＝2，所以EF的长为2.答案：23．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DA＝2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，所以AM→＝(－2，0，1)，ON→＝(1，0，2)，AM→·ON→＝－2＋0＋2＝0，所以AM⊥ON.答案：垂直一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．()(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．()(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.()(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．()(6)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.()√××××√二、易错纠偏常见误区忽视向量共线与共面的区别在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直解析：选B.由题意得，AB→＝(－3，－3，3)，CD→＝(1，1，－1)，所以AB→＝－3CD→，所以AB→与CD→共线，又AB与CD没有公共点，所以AB∥CD.空间向量的线性运算(自主练透)1．在空间四边形ABCD中，若AB→＝(－3，5，2)，CD→＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则EF→的坐标为()A．(2，3，3)B．(－2，－3，－3)C．(5，－2，1)D．(－5，2，－1)解析：选B.因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，O为坐标原点，所以EF→＝OF→－OE→，OF→＝12(OA→＋OD→)，OE→＝12(OB→＋OC→)．所以EF→＝12(OA→＋OD→)－12(OB→＋OC→)＝12(BA→＋CD→)＝12[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝12(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．2.在三棱锥O­ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA→，OB→，OC→表示(1)MG→；(2)OG→.解：(1)MG→＝MA→＋AG→＝12OA→＋23AN→＝12OA→＋23(ON→－OA→)＝12OA→＋23[12(OB→＋OC→)－OA→]＝－16OA→＋13OB→＋13OC→.(2)OG→＝OM→＋MG→＝12OA→－16OA→＋13OB→＋13OC→＝13OA→＋13OB→＋13OC→.3.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.解：(1)因为P是C1D1的中点，所以AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)因为N是BC的中点，所以A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.(3)因为M是AA1的中点，所以MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c，又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，所以MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．共线、共面向量定理的应用(师生共研)如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→(0≤k≤1)．(1)向量MN→是否与向量AB→，AA1→共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？【解】(1)因为AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→，所以MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝kC1A→＋AB→＋kBC→＝k(C1A→＋BC→)＋AB→＝k(C1A→＋B1C1→)＋AB→＝kB1A→＋AB→＝AB→－kAB1→＝AB→－k(AA1→＋AB→)＝(1－k)AB→－kAA1→，所以由共面向量定理知向量MN→与向量AB→，AA1→共面．(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知MN→与AB→，AA1→共面，所以MN∥平面ABB1A1.三点P，A，B共线空间四点M，P，A，B共面PA→＝λPB→MP→＝xMA→＋yMB→对空间任一点O，＝OA→＋tAB→对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→1．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，12B．－13，12C．－3，2D．2，2解析：选A.因为a∥b，所以b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，所以6＝k（λ＋1），2μ－1＝0，2λ＝2k，解得λ＝2，μ＝12或λ＝－3，μ＝12.2．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________．解析：AB→＝(3，－1，1)，AC→＝(m＋1，n－2，－2)．因为A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得AC→＝λAB→.即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，所以m＋1＝3λn－2＝－λ－2＝λ，解得λ＝－2，m＝－7，n＝4.所以m＋n＝－3.答案：－33．如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点．(1)试用向量AB→，AD→，AA1→表示AG→；(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.解：(1)设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c.由题图得AG→＝AA1→＋A1D1→＋D1G→＝c＋b＋12AB→＝12a＋b＋c＝12AB→＋AD→＋AA1→.(2)证明：由题图，得AC→＝AB→＋BC→＝a＋b，EG→＝ED1→＋D1G→＝12b＋12a＝12AC→，因为EG与AC无公共点，所以EG∥AC，因为EG⊆/平面AB1C，AC平面AB1C，所以EG∥平面AB1C.又因为AB1→＝AB→＋BB1→＝a＋c，FG→＝FD1→＋D1G→＝12c＋12a＝12AB1→，因为FG与AB1无公共点，所以FG∥AB1，因为