2021版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第2讲 空间几何体的表面积与体积课件 文 新人教A版

数学第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优一、知识梳理1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝_______S圆锥侧＝_______S圆台侧＝__________2πrlπrlπ(r＋r′)l3.空间几何体的表面积与体积公式表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝__________锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝__________台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝__________V＝__________S底h13S底h4πR243πR3常用结论1．正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.2．长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.二、习题改编1．(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为__________cm.解析：由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm)．答案：22．(必修2P27例4改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为__________．解析：设球的半径为R，则V球V柱＝43πR3πR2×2R＝23.答案：23一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()(2)锥体的体积等于底面积与高之积．()(3)球的体积之比等于半径比的平方．()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．()(5)长方体既有外接球又有内切球．()√××√×二、易错纠偏常见误区(1)锥体的高与底面不清楚致误；(2)不会分类讨论致误．1．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E­BCD的体积是__________．解析：设长方体中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，所以VE­BCD＝13×12ab×12c＝112abc＝10.答案：102．将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2，故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π空间几何体的表面积(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π(2)(2020·湖南省五市十校联考)某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等腰直角三角形，俯视图的轮廓是直角梯形，则该四棱锥的各侧面面积的最大值为()A．8B．45C．82D．122【解析】(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.(2)由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形，高为4的四棱锥，如图，其中侧棱PA⊥平面ABCD，PA＝4，AB＝4，BC＝4，CD＝6，所以AD＝25，PD＝6，PB＝42，连接AC，则AC＝42，所以PC＝43，显然在各侧面面积中△PCD的面积最大，又PD＝CD＝6，所以PC边上的高为62－4322＝26，所以S△PCD＝12×43×26＝122，故该四棱锥的各侧面面积的最大值为122，故选D.【答案】(1)B(2)D空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用．1.(2020·江西七校第一次联考)一个半径为1的球对称削去了三部分，其俯视图如图所示，那么该立体图形的表面积为()A．3πB．4πC．5πD．6π解析：选C.由题中俯视图可知该球被平均分成6部分，削去了3部分，剩余的3部分为该几何体，所以该立体图形的表面积为2×π×12＋3×π×12＝5π，故选C.2．(2020·辽宁丹东质量测试(一))一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积为__________．解析：设圆锥的底面圆半径为r，因为圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，所以等腰直角三角形的斜边长为2r，斜边上的高为r，所以12×2r×r＝1，解得r＝1，圆锥的母线长l＝12＋12＝2，圆锥的侧面积为πrl＝2π.答案：2π空间几何体的体积(多维探究)角度一求简单几何体的体积(1)(2020·石家庄质量检测)某几何体的三视图如图所示(图中小正方形网格的边长为1)，则该几何体的体积是()A．8B．6C．4D．2(2)将一张边长为12cm的正方形纸片按如图(1)所示将阴影部分的四个全等的等腰三角形裁去，余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是()A.3236cm3B.6436cm3C.3232cm3D．6432cm3【解析】(1)由三视图可得该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱(如图所示)，其中底面直角梯形的上、下底分别为1，2，高为2，直四棱柱的高为2，所以该几何体的体积为（1＋2）×22×2＝6，故选B.(2)设折成的四棱锥的底面边长为acm，高为hcm，则h＝32acm，由题设可得四棱锥侧面的高等于四棱锥的底面边长，所以12a＋a＝12×22⇒a＝42，所以四棱锥的体积V＝13×(42)2×32×42＝6463cm3，故选B.【答案】(1)B(2)B简单几何体体积的求法对于规则几何体，直接利用公式计算即可．若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解．角度二求组合体的体积(2020·唐山市摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为()A．1－π4B．3＋π2C．2＋π4D．4【解析】由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的14圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S＝2×(1×1－14×π×12)＋2×(1×1)＋14×2π×1×1＝4.故选D.【答案】D(1)处理体积问题的思路(2)求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换1．(2019·高考北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．解析：如图，由三视图可知，该几何体为正方体ABCD­A1B1C1D1去掉四棱柱B1C1GF­A1D1HE所得，其中正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为64，VB1C1GF­A1D1HE＝(4＋2)×2×12×4＝24，所以该几何体的体积为64－24＝40.答案：402．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为__________g.解析：长方体ABCD­A1B1C1D1的体积V1＝6×6×4＝144(cm3)，而四棱锥O­EFGH的底面积为矩形BB1C1C的面积的一半，高为AB长的一半，所以四棱锥O­EFGH的体积V2＝13×12×4×6×3＝12(cm3)，所以长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得几何体的体积V＝V1－V2＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.8球与空间几何体的接、切问题(师生共研)(1)若直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为__________．(2)(一题多解)(2019·高考天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________．【解析】(1)将直三棱柱补形为长方体ABEC­A1B1E1C1，则球O是长方体ABEC­A1B1E1C1的外接球．所以体对角线BC1的长为球O的直径．因此2R＝32＋42＋122＝13.故S球＝4πR2＝169π.(2)法一：由题意得圆柱的高为四棱锥高的一半，底面圆的直径为以四棱锥侧棱的四个中点为顶点的正方形的对角线，易求得圆柱的底面圆的直径为1，高为1，所以该圆柱的体积V＝π×122×1＝π4.法二：由题可得，四棱锥底面对角线的长为2，则圆柱底面的半径为12，易知四棱锥的高为5－1＝2，故圆柱的高为1，所以该圆柱的体积为π×122×1＝π4.【答案】(1)169π(2)π4处理球的“切”“接”问题的求解策略解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：1．正四棱锥P­ABCD的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是()A．16πB．12πC．8πD．4π解析：选A.设正四棱锥的外接球半径为R，顶点P在底面上的射影为O，因为OA＝12AC＝12AB2＋BC2＝12（22）2＋（22）2＝2，所以PO＝PA2－OA2＝（22）2－22＝2.又OA＝OB＝OC＝OD＝2，由此可知R＝2，于是S球＝4πR2＝16π.2．设球O内切于正三棱柱ABC­A1B1C1，则球O的体积与正三棱柱ABC­A1B1C1的体积的比值为__________．解析：设球O半径为R，正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，则R＝33×a2＝36a，即a＝23R，又正三棱柱ABC­A1B1C1的高为2R，所以球O的体积与正三棱柱ABC­A1B1C1的体积的比值为43πR334a2×2R＝43πR334×12R2×2R＝23π27.答案：23π27核心素养系列14直观想象——数学文化与空间几何体(2020·甘肃、青海、宁夏3月联考)汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于58.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为()A．32B．40C．32103D．40103【解析】将三视图还原成如图所示的几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积V＝12π×22×4＋13×12π×22×4＝323π，因为圆周率的平方除以16等于58，即π216＝58，所以π＝10，所以V＝32103.故选C.【答案】C本题是数学文化与三视图结合，主要是根据几何体的三视图及三视图