2020年高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ） 3.3 幂函数课件 新人教B版必修1

第三章基本初等函数(Ⅰ)3.3幂函数自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．通过具体问题，了解幂函数的概念．2．从描点作图入手，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1的图象，总结出幂函数的共性，巩固并会加以应用．3．结合幂函数的图象，掌握幂函数的性质.1．幂函数一般地，形如_______________的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的性质(1)所有的幂函数在__________都有定义，并且图象都通过点_____；y＝xα(α∈R)(0，＋∞)(1,1)(2)如果α0，则幂函数的图象通过______，并且在区间[0，＋∞)上是________；(3)如果α0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是________，在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．原点增函数减函数1．下列函数中是幂函数的是()①y＝2x2；②y＝x－12；③y＝(x－1)3；④y＝x9；⑤y＝x12＋x2A．①②B．①②④C．②⑤D．②④解析：②④是幂函数，故选D．答案：D2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是()A．y＝x－2B．y＝x－1C．y＝x2D．y＝x13答案：A3．幂函数y＝f(x)的图象经过点2，14，则其解析式是________．解析：设f(x)＝xα，∴2α＝14，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2.答案：f(x)＝x－2典例精析规律总结课堂互动探究1幂函数的概念及应用类型(1)若f(x)是幂函数，且满足f4f2＝3，则f12＝()A．3B．－3C．13D．－13(2)在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝x中，有几个函数是幂函数？()A．0B．1C．2D．3【答案】(1)C(2)C【解析】(1)设f(x)＝xα，∴4α2α＝3，∴2α＝3，∴α＝log23.∴f(x)＝xlog23，∴f12＝12log23＝2log213＝13，故选C．(2)y＝1x2，y＝x是幂函数，故选C．【知识点拨】幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底数x为自变量，指数α为常数．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据．若函数f(x)＝(2m＋3)xm2－3是幂函数，则m的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：∵f(x)＝(2m＋3)xm2－3是幂函数，∴2m＋3＝1，∴m＝－1.故选A．答案：A已知点M33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝x12B．f(x)＝x－12C．f(x)＝x2D．f(x)＝x－2解析：设幂函数为：y＝xα，因为点M33，3在幂函数f(x)的图象上，所以3＝33α，解得α＝－2，函数的解析式为f(x)＝x－2，故选D．答案：D2幂函数的图象类型(1)函数y＝x的图象是()(2)若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－1的图象不经过原点，则m的值是________．【解析】(1)y＝x的定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上是增函数，故选A．(2)由题可知m2－3m＋3＝1，m2－m－1≤0，解得m＝1或m＝2，若m＝1，m2－m－1＝－1＜0，若m＝2，m2－m－1＝1＞0(舍去)．∴m的值为1.【答案】(1)A(2)1幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如下图所示，则m的值为()A．－1＜m＜3B．0C．1D．2解析：由图象可知函数y＝xm2－2m－3为偶函数，且m2－2m－3＜0.∴－1＜m＜3，又m∈Z，∴m＝0或m＝1或m＝2.当m＝0时，y＝x－3为奇函数；当m＝1时，y＝x－4为偶函数；当m＝2时，y＝x－3为奇函数．∴m＝1，故选C．答案：C3幂函数的性质类型(1)幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m的值为()A．2或－1B．2C．－1D．－2或1(2)下列不等式中正确的是()A．1223＜1523＜1213B．1213＜1223＜1523C．1523＜1213＜1223D．1523＜1223＜1213【解析】(1)由题可知m2－m－1＝1，m2＋m－3＜0，∴m＝－1或m＝2，当m＝－1时，m2＋m－3＜0，当m＝2时，m2＋m－3＞0(舍去)．∴m＝－1，故选C．(2)y＝x23在(0，＋∞)上是增函数，∴1223＞1523，y＝12x在(0，＋∞)上是减函数，∴1223＜1213，∴1523＜1223＜1213.故选D．【答案】(1)C(2)D已知幂函数y＝xp－3(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(2a＋1)p3＜(3－a)p3的a的取值范围．解：∵函数y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，∴p－3＜0，即p＜3.又∵p∈N*，∴p＝1或p＝2.∵函数y＝xp－3的图象关于y轴对称，∴p－3是偶数，∴取p＝1，即y＝x－2.∴(2a＋1)13＜(3－a)13.∵函数y＝x13在(－∞，＋∞)上是增函数，∴2a＋1＜3－a，即a＜23.∴所求a的取值范围是－∞，23.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一幂函数的图象1．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是()A．①y＝x13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x12，④y＝x－1D．①y＝x13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－1答案：B知识点二幂函数的性质2．已知幂函数f(x)的图象经过点2，22，则下列正确的是()A．f(－x)＝f(x)B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0(其中x1≠x2)C．f(－x)＝－f(x)D．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0(其中x1≠x2)解析：设f(x)＝xα，则22＝2α，∴α＝－12，∴f(x)＝x－12，∴f(x)是非奇非偶函数，在(0，＋∞)是减函数，故选D．答案：D3．已知函数f(x)＝x3，则下列说法错误的是()A．它是奇函数B．它的图象关于原点对称C．它在(－∞，0)上是减函数D．它在定义域内既无最大值也无最小值答案：C4．已知幂函数f(x)＝x－12，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(3,5)C．(－1，＋∞)D．(－∞，5)解析：f(x)＝x－12的定义域为(0，＋∞)，且为减函数，则a＋1＞0，10－2a＞0，a＋1＞10－2a，∴a＞－1，a＜5，a＞3，∴3＜a＜5，故选B．答案：B5．求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性．(1)y＝x25；(2)y＝x－34；(3)y＝x－2.解：(1)函数y＝x25，即y＝5x2，其定义域为R，是偶函数，它在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减．(2)函数y＝x－34，即y＝14x3，其定义域为(0，＋∞)，它既不是奇函数，也不是偶函数，它在(0，＋∞)上单调递减．(3)函数y＝x－2，即y＝1x2，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是偶函数，它在区间(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．