2020年高中数学 第三章 基本初等函数（Ⅰ） 3.2.1 对数及其运算 第2课时 对数的运算及应用

第三章基本初等函数(Ⅰ)3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算第二课时对数的运算及应用自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．2．了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数.1．对数的运算法则如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么，(1)loga(MN)＝_______________.(2)logaMN＝_______________.(3)logaMn＝_______________(n∈R)．logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM2．对数换底公式_____＝logcblogca(a＞0，a≠1，b＞0，c＞0，c≠1)；特别的：logab·logba＝_____(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．logab11．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：原式＝2log510＋2log50.5＝2log5(10×0.5)＝2，故选C．答案：C2．式子log89log23的值为()A．32B．23C．2D．3解析：log89log23＝log232log223log23＝2log233log23＝23.答案：B3．下列式子中正确的个数是()①loga(b2－c2)＝2logab－2logac②(loga3)2＝loga32③loga(bc)＝logab·logac④logax2＝2logaxA．0B．1C．2D．3答案：A典例精析规律总结课堂互动探究1对数的运算性质及应用类型化简求值：(1)log381＋lg20＋lg5＋4log42＋log51；(2)2(lg2)2＋lg2·lg5＋lg22－2lg2＋1.【解】(1)原式＝log334＋lg(20×5)＋2＋0＝4＋2＋2＋0＝8.(2)原式＝2(lg2)2＋lg2·lg5＋lg2－12＝lg2·(2lg2＋lg5)＋1－lg2＝lg2·(lg2＋lg5)＋1－lg2＝lg2·lg10＋1－lg2＝lg2＋1－lg2＝1.【知识点拨】①若n个对数的底数相同时，可利用积与商的对数运算法则化简；②对数的运算法则，既可以从左至右使用，也可以从右到左使用；③运算时可充分利用像lg2＋lg5＝1这样的结论．计算3log32＋lg12－lg5的结果为________.解析：原式＝2＋lg2－1－lg5＝2－(lg2＋lg5)＝2－1＝1，故答案为1.答案：1lg5＋lg20的值是________．解析：lg5＋lg20＝lg(5×20)＝lg10＝1.答案：1计算：2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝________.解析：2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝lg4＋lg31＋lg0.6＋lg2＝lg12lg10×0.6×2＝lg12lg12＝1.答案：12对数换底公式的应用类型(1)log52·log425等于()A．－1B．12C．1D．2(2)已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝()A．a＋baB．a＋bbC．aa＋bD．ba＋b【解析】(1)log52·log425＝log52·log525log54＝log52·22log52＝1，故选C．(2)log36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a＋bb，故选B．【答案】(1)C(2)B【知识点拨】换底公式(1)对数换底公式是不同底对数间互相转换的桥梁，尤其是一般对数转化为常用对数或自然对数的重要工具，一定要记准、用好：logab＝lgblga，logab＝lnblna(其中a＞0，a≠1)．(2)利用对数换底公式可得对数运算公式的推广形式：(a＞0，a≠1，m，n∈N＋)，①loganbn＝logab；②loganbm＝mnlogab；③logab＝1logba.设log34·log48·log8m＝log416，则m的值为()A．12B．9C．18D．27解析：由题意得lg4lg3·lg8lg4·lgmlg8＝log416＝log442＝2.∴lgmlg3＝2，即lgm＝2lg3＝lg9.∴m＝9，故选B．答案：B3对数运算的综合应用类型已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求log2xy的值．【分析】从已知条件中寻求x，y之间的关系，以确定xy的值．【解】由已知，可得lg(xy)＝lg(x－2y)2，从而有xy＝(x－2y)2，整理得x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，∴x＝y或x＝4y，但由x＞0，y＞0，x－2y＞0，可得x＞2y＞0，∴x＝y应舍去，故x＝4y，即xy＝4，∴log2xy＝log24＝log2(2)4＝4.【知识点拨】对于条件求值问题，求解时必须理顺条件和结论间的关系，以期找到解题关键．本题中，所给条件相当于一个对数等式：lg(xy)＝lg(x－2y)2，在x＞0，y＞0，x－2y＞0的前提下，即可转化为关于x，y的二次齐次式：xy＝(x－2y)2，进而可求出xy的值．求解本题时，若不注意“x＞0，y＞0，x－2y＞0”这一前提，就会得到4或0这一错误答案．因此，在解题中，要处处留心字母的取值范围，以免出错．设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值．解：∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，∴1x＝1log336＝1log3636log363＝log363，1y＝1log436＝1log3636log364＝log364，∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一对数的运算法则1．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为()A．a－2B．5a－2C．3a－(a＋a)2D．3a－a2－1解析：log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝log32－2＝a－2，故选A．答案：A知识点二换底公式2．设lg2＝a，lg3＝b，则log512等于()A．2a＋b1＋aB．a＋2b1＋aC．2a＋b1－aD．a＋2b1－a解析：log512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a＋b1－a，故选C．答案：C知识点三对数的运算3.3lg50－13－lg2－12＝()A．2lg5B．0C．－1D．－2lg5解析：原式＝lg50－1＋lg2－1＝lg100－2＝0，故选B．答案：B4．计算：(0.25)－0.5＋823－2log525＝________.解析：原式＝14-12＋(23)23－2log552＝4＋22－4＝2.答案：2知识点四对数运算的综合应用5．已知f(x)＝kx＋6x－4(k∈R),f(lg2)＝0，则flg12＝________.解析：f(lg2)＝klg2＋6lg2－4＝0，∴klg2＋6lg2＝4.flg12＝klg12＋6lg12－4＝－klg2－6lg2－4＝－4－4＝－8.答案：－8