2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.1 圆的标准方程课件 新人教

第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.1圆的标准方程自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．2．会根据已知条件求圆的标准方程．3．能准确判断点与圆的位置关系.1．圆的定义___________________________的点的轨迹叫做圆，______叫做圆的圆心，______叫做圆的半径，用集合表示为P＝{M||MA|＝r}．2．圆的标准方程_________________________，其中圆心为________，半径为____.(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)A(a，b)r平面内到定点的距离等于定长定点定长3．点与圆的位置关系(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较．若|CM|＝r，则点M在______；若|CM|r，则点M在______；若|CM|r，则点M在______．(2)代数法：可利用圆的标准方程来确定．点M(m，n)在圆上⇔_____________________；点M(m，n)在圆外⇔_____________________；点M(m，n)在圆内⇔_____________________.圆上圆外圆内(m－a)2＋(n－b)2＝r2(m－a)2＋(n－b)2r2(m－a)2＋(n－b)2r21．点P(a,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不确定解析：a2＋52＝a2＋2524，所以点P在圆外，故选C．答案：C2．(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为()A．(－1,2)，2B．(1，－2)，2C．(－1,2)，4D．(1，－2)，4答案：A3．以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为________．解析：圆与x轴相切，所以r＝4，故圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝16.答案：(x＋3)2＋(y－4)2＝16典例精析规律总结课堂互动探究1直接法求圆的标准方程类型(1)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2(2)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1【解析】(1)由两点间距离公式可得到r2＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D．(2)设圆心为(0，b)，则由题可得12＋b－22＝1，∴b＝2，∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1，故选A．【答案】(1)D(2)A写出下列各圆的标准方程．(1)圆心在原点，半径为8；(2)圆心为(2,3)，半径为2；(3)圆心为(2，－1)且过原点．解：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8，∴圆的方程为x2＋y2＝64.(2)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.(3)∵圆心为(2，－1)且过原点，∴a＝2，b＝－1，r＝2－02＋－1－02＝5.∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.2待定系数法求圆的标准方程类型△ABC三个顶点坐标为A(0,1)，B(0，－1)，C(－2,1)．(1)求AC边中线所在直线方程；(2)求△ABC的外接圆方程．【解】(1)由于AC的中点为(－1,1)，∴AC边中线所在直线方程为y＋11＋1＝x－1，∴2x＋y＋1＝0.(2)设△ABC的外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则a2＋1－b2＝r2，a2＋－1－b2＝r2，－2－a2＋1－b2＝r2，解得a＝－1，b＝0，r＝2，∴圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.【知识点拨】用待定系数法设出圆的标准方程，通过三个独立条件解出a，b，r，这种方法体现了方程的思想，是通用方法．△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆的方程．解：解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则由条件可得－1－a2＋5－b2＝r2，－2－a2＋－2－b2＝r2，5－a2＋5－b2＝r2，解得a＝2，b＝1，r2＝25，所以△ABC的外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.解法二：由A(－1,5)，B(－2，－2)，得线段AB的中点为－32，32，直线AB的斜率kAB＝5＋2－1＋2＝7，则线段AB的垂直平分线的方程为y－32＝－17x＋32，即x＋7y－9＝0.同理可得，线段BC的垂直平分线的方程为x＋y－3＝0.由x＋7y－9＝0，x＋y－3＝0解得所求圆的圆心坐标为(2,1)，圆的半径长r＝2＋12＋1－52＝5，所以△ABC的外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25.3点与圆的位置关系类型已知点(a＋1，a－1)在圆x－122＋y＋122＝92的外部，则a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪[2，＋∞)B．(－∞，－2]∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【解析】由题可得a＋1－122＋a－1＋122＞92，即a2＞2，∴a＞2或a＜－2，故选C．【答案】C【知识点拨】点与圆的位置关系有三种：在圆上，在圆外，在圆内．判断点与圆的位置关系，只需判断点与圆心距离d和圆的半径r的关系；若dr，点在圆外；若d＝r，点在圆上；若0≤dr，点在圆内．已知圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的范围．解：(1)∵点M(6,9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.又a＞0，∴a＝10.(2)圆心C(5,6)，半径为a，∵|PC|＝3－52＋3－62＝13，|QC|＝5－52＋3－62＝3，∴|PC|＞|QC|，故点P在圆外，点Q在圆内，∴3＜a＜13.已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝14，试求x2＋y2的最值．解：据题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相对取得最大值和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94和14.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一圆的标准方程1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是()A．(2,1)B．(2，－1)C．(－2,1)D．(－2，－1)答案：B知识点二求圆的标准方程2．已知圆心为C(6,5)，且过点B(3,6)的圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－5)2＝10B．(x＋6)2＋(y＋5)2＝10C．(x－5)2＋(y－6)2＝10D．(x＋5)2＋(y＋6)2＝10解析：由题可得r2＝(6－3)2＋(5－6)2＝10，∴圆的标准方程为(x－6)2＋(y－5)2＝10，故选A．答案：A知识点三点与圆的位置关系3．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＜－1或a＞1D．a＝±1答案：A知识点四求圆的方程4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y＋2)2＝1解析：C1的圆心为(－1,1)，关于x－y－1＝0的对称点设为(m，n)，则n－1m＋1＝－1，m－12－n＋12－1＝0，∴m＝2，n＝－2，∴C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，故选D．答案：D5．一个圆经过A(10,5)，B(－4,7)两点，半径为10，求圆的方程．解：设圆的圆心为(a，b)，则a－102＋b－52＝100，a＋42＋b－72＝100，解得a＝2，b＝－1或a＝4，b＝13.∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100.