2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上

第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．理解向量及向量相等的概念．2．掌握数轴上向量的数量表示及数轴上两点之间的距离公式.1．向量的有关概念(1)向量：位移是一个既有______又有______的量，通常叫做位移向量，简称向量．(2)相等向量：数轴上______且______的向量．(3)向量的坐标：一般地，轴上向量AB→的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，如果起点指向终点的方向与轴同方向，则这个实数取______；反之取______．大小方向同向等长正数负数2．数轴上的基本公式(1)向量AC→，AB→，BC→的关系____＝AB→＋BC→.(2)向量坐标AC，AB，BC之间的关系AC＝________.(3)已知A(x1)，B(x2)，则AB＝____________.(4)数轴上A(x1)，B(x2)两点之间的距离公式d(A，B)＝________＝________.AC→AB＋BCx2－x1|AB||x2－x1|1．下列说法正确的是()A．两点确定一条有向线段B．有向线段AB→的数量AB＝－|BA|C．若A，B，C是数轴上的任意三点，则一定有AB＝AC＋CBD．点A(2)，B(－1)，则AB＝3答案：C2．在数轴上，已知任意三点A，B，O，下列关系中，不正确的是()A．AB＝OB－OAB．AO＋OB＋BA＝0C．AB＝AO＋OBD．AB＋AO＋BO＝0解析：AB＝OB－OA，A正确；AO＋OB＋BA＝AB＋BA＝0，B正确；AB＝AO＋OB，C正确，故选D．答案：D3．已知数轴上点A，B的坐标分别为xA＝－1，xB＝2，则|AB|＝________.答案：3典例精析规律总结课堂互动探究1数轴上的点的坐标类型(1)如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且d－2a＝10，那么数轴的原点应是()A．A点B．B点C．C点D．D点(2)下列各组点：①M(a)和N(2a)；②A(b)和B(2＋b)；③C(x)和D(x－a)；④E(x)和F(x2)，其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是()A．①B．②C．③D．④【解析】(1)如果A为原点，则a＝0，d＝7，∴d－2a＝7，排除A；如果B为原点，则a＝－3，d＝4，∴d－2a＝10，满足条件，故选B．(2)当a＜0时，a＞2a，M在N的右侧；b＜2＋b，B在A的右侧；当a＞0时，x＞x－a，C在D的右侧；x与x2大小不确定，故选B．【答案】(1)B(2)B【知识点拨】根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上的点自左到右对应的实数依次增大．下列说法：①向量AB→的数量有正、负之分，其大小为终点坐标减起点坐标；②数轴上A，B两点间的距离d(A，B)＝|AB|；③起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0；④在数轴上点A(a)位于点B(b)的左侧；⑤数轴上点A的坐标为A(a,0)．其中正确说法的个数是()A．2B．3C．4D．5解析：①②③正确．答案：B2数轴上的基本公式的应用类型已知A，B，C是数轴上的任意三点．(1)求证：AC＋CB＝AB；(2)若AB＝5，CB＝3，求AC；(3)若|AB|＝5，|CB|＝3，求|AC|.【分析】可以设出每个点的坐标，进行证明或计算．【解】(1)证明：设数轴上的任意三点A，B，C的坐标是xA，xB，xC，由于AC＝xC－xA，CB＝xB－xC，AB＝xB－xA，∴AC＋CB＝xC－xA＋xB－xC＝xB－xA＝AB.(2)∵CB＝3，∴BC＝－3，又AC＝AB＋BC＝5－3＝2，∴AC＝2.(3)A，B，C是数轴上的任意三点，讨论点C与点A，B的位置关系：当C在点A，B之间时，有|AC|＋|CB|＝|AB|，所以|AC|＝|AB|－|CB|＝5－3＝2，当C在点A，B之外时，由于|CB|＝3|AB|＝5，点C只能在AB的延长线上，从而有|AC|＝|AB|＋|CB|＝5＋3＝8，综上可知，|AC|＝2或|AC|＝8.【知识点拨】(1)对任意三点均有AC＋CB＝AB，但不一定有|AC|＋|CB|＝|AB|；(2)区分AB与|AB|的含义：AB是一个实数，可以是正数、零、负数，而|AB|是一个非负数．已知数轴x上的点A，B，C的坐标分别为－1,3,5.(1)求AB，BA，|AB|，BC，|AC|；(2)若x轴上还有两点E，F，且AE＝8，CF＝－4，求点E，F的坐标．解：(1)AB＝3－(－1)＝4；BA＝－AB＝－4；|AB|＝|3－(－1)|＝4；BC＝5－3＝2；|AC|＝|5－(－1)|＝6.(2)设E，F点的坐标分别为xE，xF.因为AE＝8，所以xE－(－1)＝8，有xE＝7.因为CF＝－4，所以xF－5＝－4，有xF＝1.故E，F两点坐标分别为7,1.3|x－a|的几何应用类型根据下列条件，在数轴上分别画出点P(x)．(1)|x－2|＝1；(2)|x＋3|＋|x－1|＝5；(3)|x|＜2；(4)|x－1|≥2.【解】(1)|x－2|＝1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合．∵|x－2|＝1，∴x－2＝1或x－2＝－1，∴x＝3或x＝1.在数轴上表示为(如图所示)(2)|x＋3|＋|x－1|＝5表示数轴上的点到A(－3)与B(1)的距离之和等于5的点的集合．|x＋3|＋|x－1|＝5，得x＝－3.5或x＝1.5，在数轴上表示为(如图所示)：(3)|x|2的几何意义是点P(x)到原点O(0)的距离小于2的点的集合，在数轴上表示为(如图阴影部分所示)：(4)|x－1|≥2的几何意义是点P(x)与点Q(1)的距离大于或等于2，此时点P(x)在数轴上表示为(如图阴影部分所示)：在数轴上分别标出满足下列条件的点P(x)．(1)|x|2；(2)|x＋1|≤2.解：(1)(2)即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一数轴上的点的坐标1．下列说法正确的是()A．点M(x)位于点N(2x)的左侧B．数轴上等长的向量是相等的向量C．向量AB→在数轴上的坐标AB＝－BAD．数轴是有方向的直线答案：C知识点二数轴上的基本公式2．在数轴上，已知A，B，C三点的坐标分别为x,2x,3－x，若使AB＋CB＞AC，则实数x的取值范围是()A．x＞2B．x＞1C．x＜3D．x＜1解析：∵AB＋CB＞AC，∴(2x－x)＋[2x－(3－x)]＞(3－x)－x，∴x＞1，故选B．答案：B3．若数轴上两点A(8)，B(3)，则|AB||BA|等于()A．38B．83C．1D．－1解析：|AB||BA|＝|－5||5|＝1，故选C．答案：C知识点三|x－a|的应用4．三个不相等的实数a，b，c在数轴上分别对应点A，B，C，如果|a－b|＋|b－c|＝|a－c|，则点B在点()A．A，C的右边B．A，C的左边C．A，C之间D．A或C上解析：由|a－b|＋|b－c|＝|a－c|，又|a－c|＝|a－b＋b－c|，可知a－b与b－c同号，∴a＞b且b＞c，或a＜b且b＜c，∴B在A，C之间，故选C．答案：C5．满足方程|x－3|－|x－5|＝2的x的集合为________．解析：因为|x－3|－|x－5|＝2表示数轴上到点A(3)，B(5)的距离的差为2，∴满足条件的x的集合为{x|x≥5}．答案：{x|x≥5}