2020年高中数学 第二章 解析几何初步 1 1.3 两条直线的位置关系课件 北师大版必修2

第二章解析几何初步1.3两条直线的位置关系自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|理解两条直线平行或垂直时斜率之间的关系，掌握根据斜率判断两条直线平行或垂直的方法.1．两条直线平行：(1)两条不重合直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(b1≠b2)，若l1∥l2，则___________；反之，若k1＝k2，则___________.(2)如果两条不重合的直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是______，从而它们互相平行．k1＝k2l1∥l290°练一练(1)与已知直线y＝－43x＋1平行的直线是()A．3x＋4y＋7＝0B．4x＋3y＋7＝0C．4x－3y－7＝0D．3x－4y－7＝0答案：B2．两条直线垂直：(1)设直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，则___________；反之，若k1·k2＝－1，则__________.(2)对于直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，由于l1⊥x轴，l2⊥y轴，所以l1⊥l2.k1·k2＝－1l1⊥l2练一练(2)如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为()A.1aB．aC．－1aD．－1a或不存在解析：当a＝0时，直线l2的斜率不存在；当a≠0时，直线l2的斜率为－1a.答案：D如何判断两直线平行或垂直？答：判断两直线平行或垂直时，首先考虑直线有无斜率，若无斜率，则直接确定其位置关系．若有斜率把直线方程化为斜截式：当斜率相等，截距不等时，两直线平行；斜率之积为－1时，两直线垂直．典例精析规律总结课堂互动探究已知直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，若l1∥l2，求m的值．【解】当l1，l2都有斜率时，方程可化为：l1：y＝－m＋2m2－3mx－4m2－3m，l2：y＝－12m－3x＋14m－3，若l1∥l2，必有－m＋2m2－3m＝－12m－3，解得：m＝－4，此时，两直线纵截距分别为：－17，－128，不相等．∴m＝－4时，l1∥l2.当l1无斜率且l2无斜率时，需满足m2－3m＝0且m－3＝0，解得m＝3，此时方程分别为l1：x＝－45，l2：x＝12，显然l1∥l2，即m＝3时l1∥l2.综上，若l1∥l2，则m＝－4或m＝3.【规律总结】判断两直线是否平行时，若直线无斜率，则直接判断，若有斜率，则可化为斜截式方程，利用斜率相等，截距不等来判断．已知直线x＋2ay－1＝0与直线(a－2)x－ay＋2＝0平行，则a的值是()A.32B．32或0C．－23D．－23或0解析：当a＝0时，两直线分别为x＝1，－2x＋2＝0，两直线重合；当a≠0时，两直线分别为y＝－12ax＋12a，y＝a－2ax＋2a.∵两直线平行，∴－12a＝a－2a，12a≠2a，解得a＝32.答案：A直线l1：ax＋(1－a)y＝3，与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，求a的值．【解】当a＝1时，l1为x＝3，l2为y＝25，故l1⊥l2.当a＝－32时，l1方程为－32x＋52y＝3，l2的方程为－52x＝2，显然l1与l2不垂直．当a≠1且a≠－32时，由k1·k2＝－1得：aa－1×1－a2a＋3＝－1，解得a＝－3.综上所述，a＝1或a＝－3.【规律总结】判断两直线的垂直，可利用k1·k2＝－1来解决，使几何问题代数化，注意斜率为0和不存在的特殊情况．过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋7＝0解析：直线方程x－2y＋3＝0可转化为y＝12x＋32，其斜率为12，∴所求直线的斜率为－2，所求直线方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0.答案：B已知定点A(－1,3)，B(4,2)，在x轴上，求点C，使AC⊥CB.【解】设C(x,0)为所求，则kAC＝－3x＋1，kBC＝－2x－4.因为AC⊥BC，所以kACkBC＝－1，即6x＋1x－4＝－1.整理得x2－3x＋2＝0，所以x1＝1，x2＝2.故所求的点为C(1,0)或C(2,0)．【规律总结】当已知两直线的位置关系求其中某一直线方程时，应先利用两直线平行或垂直的条件确定直线的斜率，然后选择合适的直线方程的形式求解．如图，在平行四边形OABC中，点A(3,0)，点C(1,3)．(1)求AB所在直线的方程；(2)过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．解：(1)kOC＝3－01－0＝3，∵OC∥AB，∴kAB＝kOC＝3，∴直线AB的方程为y－0＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.(2)∵CD⊥AB，∴kCD·kAB＝－1，又∵kAB＝3，∴kCD＝－13，∴CD所在直线的方程为y－3＝－13(x－1)，即x＋3y－10＝0.已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．【错解】设D(x，y)，如图，∵ABCD为直角梯形，∴AD∥BC，且AD⊥CD.∴x＝3，y＝3.∴点D的坐标为D(3,3)．【错因分析】错解中未深入分析哪条边是直角梯形的直角腰，导致漏解．【正解】设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示．由于kAB＝3，kBC＝0，则kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不能作为直角梯形的直角腰．若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD.∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.又kAD＝kBC，∴y－3x＝0.∴y＝3.此时AB与CD不平行．故所求点D的坐标为(3,3)．若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AB∥CD.∵kAD＝y－3x，kCD＝yx－3，又由于AD⊥AB，∴y－3x×3＝－1.①又AB∥CD，∴yx－3＝3.②解①②可得x＝185，y＝95，此时AD与BC不平行，即所求点D的坐标为185，95.综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标为(3,3)或185，95.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一两直线平行1．直线2x－y＋1＝0与直线4x－2y＋1＝0的位置关系是()A．平行B．不平行C．平行或重合D．既不平行也不重合解析：把两直线方程分别化为斜截式：y＝2x＋1或y＝2x＋12，显然平行．答案：A2．直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为()A．2B．－3C．2或－3D．－2或－3解析：当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，则l1∥l2.当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，此时l1∥l2.答案：C知识点二两直线垂直3．直线l过点A(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0答案：A4．已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的BC边上的高所在直线方程为()A．x＋y＝0B．x－y＋2＝0C．x＋y＋2＝0D．x－y＝0解析：∵kBC＝3－11－3＝－1.∴BC边上的高所在直线的斜率为1.∴直线方程为y－1＝1×(x＋1)，即x－y＋2＝0.答案：B知识点三两直线位置关系的应用5．已知直线l：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)l1⊥l2，求a的值．解：(1)若l1∥l2，则aa－1－1×2＝0，①2a2－1－6a－1≠0，②由①得a＝－1或a＝2，代入②知a＝－1.∴当a＝－1时，l1与l2平行．(2)当a＝1时，直线l2的斜率不存在，此时l1：x＋2y＋6＝0，显然l1与l2不垂直．当a≠1时，直线l2的斜率存在．又kl1＝－a2，kl2＝11－a，∵l1⊥l2，∴－a2·11－a＝－1，即a＝2(1－a)，∴a＝23.