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第二章函数2.2一次函数和二次函数2.2.2二次函数的性质与图象自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1.掌握二次函数的图象和性质,学会用配方法研究二次函数的性质.2.掌握作二次函数图象的一般方法,学会运用函数图象理解和研究函数的性质.1.二次函数的概念函数____________________叫做二次函数,它的定义域是R.当b=c=0时,则二次函数变为_______________,它的图象是________________________,当a0时,抛物线开口向____,a0时,抛物线开口向____.这个函数是____函数,其对称轴是_____.y=ax2+bx+c(a≠0)y=ax2(a≠0)y轴一条顶点为原点的抛物线上下偶2.二次函数的图象与性质a>0a<0图象开口方向向上向下顶点坐标-b2a,4ac-b24a-b2a,4ac-b24aa>0a<0对称轴x=-b2ax=-b2a单调区间单调递减区间_______________单调递增区间_______________单调递增区间_______________单调递减区间_______________-∞,-b2a-b2a,+∞-∞,-b2a-b2a,+∞a>0a<0最值当x=-b2a时,取得最小值为4ac-b24a当x=-b2a时,取得最大值为4ac-b24a1.二次函数f(x)=x2-4x+1的对称轴及顶点坐标为()A.x=2,(2,-3)B.x=-2,(2,-3)C.x=2,(-2,-3)D.x=-2,(-2,3)解析:f(x)=x2-4x+1=(x-2)2-3.∴对称轴为x=2,顶点坐标为(2,-3),故选A.答案:A2.函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上是单调函数的条件是()A.a≤1B.a≥2C.1≤a≤2D.a≤1或a≥2解析:f(x)的对称轴为x=a,若f(x)在区间[1,2]上是单调函数,则a≤1或a≥2,故选D.答案:D3.已知函数y=-x2+2x+4,则函数()A.对称轴为x=1,最大值为3B.对称轴为x=-1,最大值为5C.对称轴为x=1,最大值为5D.对称轴为x=-1,最小值为3答案:C典例精析规律总结课堂互动探究1二次函数的图象类型(1)如下图,若a<0,b>0,则函数y=ax2+bx的大致图象是()(2)若函数y=(a-2)x2+2x-4的图象恒在x轴下方,则a的取值范围为________.【解析】(1)∵a<0,∴y=ax2+bx的图象开口向下,排除D;当x=0时,y=0,排除A;对称轴y=-b2a>0,故选C.(2)若a=2时,y=2x-4,不符合题意;若a≠2,则a-2<0,Δ=4+4×4a-2<0.则a<2,a<74,∴a<74.【答案】(1)C(2)-∞,74已知函数f(x)=2x2-3x+1,(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴;(2)求这个函数的最小值;(3)不直接计算函数值,试比较f(-1)和f(1)的大小.解:(1)将函数配方化为顶点式y=2x2-3x+1=2x-342-18.则顶点坐标为34,-18,对称轴为x=34.(2)当x=34时,ymin=-18.(3)∵函数y=2x2-3x+1的对称轴为x=34,∴f34-x=f34+x.∴f(-1)=f34+-74=f34+74=f52,而函数在34,+∞上是增函数,521,∴f52f(1).∴f(-1)f(1).2二次函数的性质类型已知函数f(x)=x2+bx+c,其中b,c为常数.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上单调,求b的取值范围;(2)若对任意x∈R,都有f(-1+x)=f(-1-x)成立,且函数f(x)的图象经过点(c,-b),求b,c的值.【解】(1)因为函数f(x)=x2+bx+c,所以它的开口向上,对称轴方程为x=-b2.因为函数f(x)在区间-b2,+∞上单调递增,所以-b2≤1,所以b≥-2.(2)因为f(-1+x)=f(-1-x),所以函数f(x)的对称轴方程为x=-1,所以b=2,又因为函数f(x)的图象经过点(c,-b),所以有c2+2c+c=-2,即c2+3c+2=0,所以c=-2或c=-1.【知识点拨】讨论二次函数的单调性一定要结合二次函数的图象,看清抛物线的开口方向与对称轴;若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)关于x=a对称.函数f(x)=x2+(3a+1)x+2a在(-∞,4)上为减函数,则实数a的取值范围是________.解析:由题可得-3a+12≥4,∴a≤-3.答案:(-∞,-3]已知二次函数y=f(x),当x=2时函数取最小值-1,且f(1)+f(4)=3.(1)求f(x)的解析式;(2)若g(x)=f(x)-kx在区间(1,4)上不单调,求实数k的取值范围.解:(1)∵二次函数y=f(x)在x=2时取得最小值-1,∴二次函数图象的顶点坐标为(2,-1).设解析式为y=a(x-2)2-1(a0),∵f(1)+f(4)=a-1+4a-1=5a-2=3,∴a=1.∴y=(x-2)2-1=x2-4x+3.(2)∵g(x)=f(x)-kx=x2-(k+4)x+3在区间(1,4)上不单调,∴1k+424,解得-2k4.即实数k的取值范围为(-2,4).3二次函数在闭区间上的最值问题类型函数f(x)=x2-4x-4在区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为g(t).(1)试写出g(t)的函数表达式;(2)求g(t)的最小值.【解】(1)f(x)=x2-4x-4=(x-2)2-8,当t2时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,∴g(t)=f(t)=t2-4t-4;当t≤2≤t+1,即1≤t≤2时,g(t)=f(2)=-8;当t+12,即t1时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,∴g(t)=f(t+1)=t2-2t-7,从而g(t)=t2-2t-7t1,-81≤t≤2,t2-4t-4t2.(2)当t1时,t2-2t-7-8;当t2时,t2-4t-4-8,且t∈[1,2]时g(t)=-8,故g(t)的最小值为-8.【知识点拨】二次函数在闭区间上的最值问题对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间x∈[p,q]上最值问题可作如下讨论:(1)对称轴x=h在区间[p,q]左侧,即当h<p时,f(x)max=f(q),f(x)min=f(p).(2)对称轴x=h在区间[p,q]之间,即当p≤h≤q时,f(x)min=f(h)=k;当p≤h<p+q2时,f(x)max=f(q);当h=p+q2时,f(x)max=f(p)=f(q);当p+q2<h≤q时,f(x)max=f(p).(3)对称轴x=h在区间[p,q]的右侧,即当h>q时,f(x)max=f(p),f(x)min=f(q).函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为()A.-1B.0C.1D.2解析:f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,当x∈[0,1]时,x=0时f(x)有最小值,∴f(0)=a=-2,f(x)=-(x-2)2+2,∴当x=1时,f(x)有最大值为f(1)=1,故选C.答案:C即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一二次函数的最值1.已知函数f(x)=x2+x-2,则函数f(x)在区间[-1,1)上()A.最大值为0,最小值为-94B.最大值为0,最小值为-2C.最大值为0,无最小值D.无最大值,最小值为-94解析:∵f(x)=x2+x-2=x+122-94,对称轴x=-12∈[-1,1)上,且抛物线开口向上,∴当x=-12时,f(x)有最小值-94,无最大值.故选D.答案:D2.函数f(x)=x2-4x+5在区间[0,m]上的最大值为5,最小值为1,则实数m的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,4]C.[0,4]D.[2,4]解析:f(x)=(x-2)2+1,对称轴x=2,∴f(4)=f(0)=5,f(2)=1,则m∈[2,4],故选D.答案:D知识点二二次函数的图象3.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称,则()A.m=-2B.m=2C.m=-1D.m=1解析:由题可得-m2=1,∴m=-2,故选A.答案:A知识点三二次函数的性质4.若函数f(x)=x2+6x,则函数f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数答案:D知识点四二次函数的最值与单调性5.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值与最小值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,∴当x=1时,f(x)min=1,当x=-5时,f(x)max=37.(2)若f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,f(x)的对称轴为x=-a,则-a≤-5或-a≥5,∴a≥5或a≤-5.
本文标题:2020年高中数学 第二章 函数 2.2.2 二次函数的性质与图象课件 新人教B版必修1
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