2020届新高考数学艺考生总复习 第七章 平面解析几何 第6节 双曲线课件

高考总复习艺考生山东版数学第6节双曲线第七章平面解析几何最新考纲核心素养考情聚焦了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)1.双曲线的定义理解与学习，达成数学抽象和直观想象的素养．2.双曲线的标准方程的掌握，达成逻辑推理和数学运算的素养．3.双曲线的几何性质的应用，增强直观想象、逻辑推理和数学运算的素养双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考命题的热点．常与圆、椭圆、抛物线等知识交汇命题，考查学生的分析问题解决问题的能力．题型以选择题、填空题为主，一般为中低档题型，做题时要充分利用函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合等数学思想的运用1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a0，c0：(1)当ac时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当ac时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)性质渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)其中c＝a2＋b2性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)平面内到点F1(0,3)，F2(0，－3)距离之差等于4的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F1(0,3)，F2(0，－3)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()(4)方程x2m－y2n＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．()(5)双曲线方程x2m2－y2n2＝λ(m0，n0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2－y2n2＝0，即xm±yn＝0.()(6)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与x2b2－y2a2＝1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1e21＋1e22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)√[小题查验]1．(2019·肇庆市模拟)双曲线x24－y25＝1的离心率为()A．4B.355C.52D.32解析：D[由双曲线x24－y25＝1可得a＝2，b＝5，∴c＝3，∴e＝ca＝32，故选D.]2．(2019·张掖市一模)已知双曲线x2m2＋12－y25m－1＝1的实轴长为8，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±53B．±35C．±34D．±43解析：C[双曲线x2m2＋12－y25m－1＝1的实轴长为8，可得：m2＋12＝16，解得m＝2，m＝－2(舍去)．所以，双曲线的渐近线方程为：x4±y3＝0.则该双曲线的渐近线的斜率为±34.故选C.]3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在其右支上，若AF1⊥AF2，∠AF1F2＝π12，则ab的值为________.解析：解法一：在△AF1F2中，由于AF1⊥AF2，故|AF2|＝|F1F2|sinπ12＝2c×6－24＝6－22c，|AF1|＝|F1F2|cosπ12＝2c×6＋24＝6＋22c.又|AF1|－|AF2|＝2a，所以2c＝2a，根据c2＝b2＋a2，可得ab＝1.解法二：由题意可知，双曲线的离心率e＝2c2a＝|F1F2||AF1|－|AF2|＝1|AF1|－|AF2||F1F2|＝1cos∠AF1F2－sin∠AF1F2＝12cos∠AF1F2＋π4.因为∠AF1F2＝π12，所以∠AF1F2＋π4＝π3，所以cos∠AF1F2＋π4＝12，所以ca＝2，又c2＝a2＋b2，所以ab＝1.答案：14．[人教A版教材P62A组T6改编]经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为___________________________．解析：设双曲线的方程为x2a2－y2a2＝±1(a0)，把点A(3，－1)代入，得a2＝8(舍负)，故所求方程为x28－y28＝1.答案：x28－y28＝15．(2018·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值为________.解析：由题意画图可知，渐近线y＝bax与x轴的夹角为60°，故ba＝3，c2＝a2＋b2＝4a2，故e＝ca＝2.答案：2考点一双曲线的定义(自主练透)[题组集训]1．(2019·沈阳市教学质检(一))已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝()A．3B．4C．5D．6解析：A[如图，设MN的中点为P.∵F1为MA的中点，F2为MB的中点，∴|AN|＝2|PF1|，|BN|＝2|PF2|，又|AN|－|BN|＝12，∴|PF1|－|PF2|＝6＝2a，∴a＝3.故选A.]2．P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)右支上一点，F1，F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是()A．aB．bC．cD．a＋b－c解析：A[如图，内切圆圆心M到各边的距离分别为MA，MB，MC，切点分别为A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|，∴|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，∴|AF1|＝a＋c，则|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a.∵M的横坐标和A的横坐标相同，答案A.]3．已知F是双曲线C：x2－y28＝1(a0，b0)的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,66)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________.解析：由已知a＝1，b＝22，c＝3，F(3,0)，F′(－3,0)，A(0,66)，|AF|＝15，△APF的周长l＝|PA|＋|PF|＋|AF|.又|PF|－|PF′|＝2，所以|PF|＝|PF′|＋2，所以周长l＝|PA|＋|PF′|＋17≥|AF′|＋17，当且仅当A、P、F′三点共线时周长最小，此时△APF的面积S＝126.答案：1264．已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3,0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________.解析：设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，∴|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．答案：x2－y28＝1(x≤－1)．1．在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．2．在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．考点二双曲线的标准方程(自主练透)[题组集训]1．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1解析：A[圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得3ba2＋b2＝2，即3b3＝2，解得b＝2，则a2＝32－22＝5，故所求的双曲线方程是x25－y24＝1.故选A.]2．(2017·高考全国Ⅲ卷)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1解析：B[由题意得ba＝52，c＝3，又a2＋b2＝c2，解得a2＝4，b2＝5，所以C的方程为x24－y25＝1.故选B.]3．(2016·高考天津卷)已知双曲线x24－y2b2＝1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.x24－3y24＝1B.x24－4y23＝1C.x24－y24＝1D.x24－y212＝1解析：D[由题意，可画出图象，如图所示：渐近线DB：y＝b2x设Bx0，b2x0，则12·x0·b2x0＝2b8，∴x0＝1，∴B1，b2，∴12＋b24＝22，∴b2＝12，∴x24－y212＝1.]4．(2015·高考全国Ⅱ卷)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为________.解析：根据渐近线方程为x±2y＝0，可设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x24－y2＝1.答案：x24－y2＝1求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．(1)若已知双曲线的焦点位置可设双曲线的标准方程，再根据a、b、c、e及渐近线之间的关系，求出a、b的值．(2)若不能确定焦点位置，则可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0)，根据条件求出A、B.(3)若已知双曲线的渐近线方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．考点三双曲线的几何性质(多维探究)[命题角度1]求双曲线离心率的取值(范围)1．(2018·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左，右焦点，O是坐标原点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为()A.5B．2C.3D.2解析：C[设双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，则PF2所在直线方程为y＝－ab(x－c)．可得Pa2c，abc，因为|PF1|＝6|OP|.∴a2c＋c2＋abc2＝6a2c2＋abc2化简得，3a2＝c2，即ca＝3.]2．(2019·全国Ⅰ卷)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A．2sin40°B．2cos40°C.1sin50°