2020届新高考数学艺考生总复习 第七章 平面解析几何 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件

高考总复习艺考生山东版数学第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第七章平面解析几何最新考纲核心素养考情聚焦1.理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式．2.掌握确定直线位置的几何要素．3.掌握直线方程的几种形式(点斜式，两点式及一般式)，了解斜截式一次函数的关系1.直线的倾斜角与斜率的学习与理解，达成直观想象和数学建模的素养．2.直线的方程的建立，增强数学抽象和数学运算的素养．3.直线方程的综合利用，提升逻辑推理和数学运算的素养2020年高考预计涉及直线方程的求法，两条直线平行于垂直的位置关系的判定，或者由两条直线平行于垂直的位置求参数或参数的取值范围．多与圆锥曲线相结合，有时也会命制新定义题型．既有选择题、填空题，又有解答题的某一小问，一般难度不会太大，属中低档题型1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为0°≤α＜180°.(2)直线的斜率①定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.2．直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线1.直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系θ0°0°θ90°90°90°θ180°k0k0不存在k02.线段的中点坐标公式：若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝x1＋x22y＝y1＋y22，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(3)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(4)过点P(x1，y1)的直线方程一定可设为y－y1＝k(x－x1)．()(5)不经过原点的直线都可以用xa＋yb＝1表示．()(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√[小题查验]1．直线l：xsin30°＋ycos150°＋a＝0的斜率为()A.33B.3C．－3D．－33解析：A[设直线l的斜率为k，则k＝－sin30°cos150°＝33.故选A.]2．如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：C[由题意知A·B·C≠0，直线方程变为y＝－ABx－CB.∵A·C＜0，B·C＜0，∴A·B＞0，∴其斜率k＝－AB＜0.又y轴上的截距b＝－CB＞0，∴直线过第一、二、四象限．]3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：D[①当a＝0时，y＝2不合题意．②当a≠0时，令x＝0，得y＝2＋a，令y＝0，得x＝a＋2a，则a＋2a＝a＋2，得a＝1或a＝－2.]4．[人教A版教材P100A组T9改编]过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________.解析：截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝05．若m0，n0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0上，那么1m＋4n的最小值等于________.解析：由题意知(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(1－n,1＋m)．依题意可知1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.于是1m＋4n＝12(m＋n)1m＋4n＝12×5＋nm＋4mn≥12×(5＋2×2)＝92，即1m＋4n的最小值为92.答案：92考点一直线的倾斜角与斜率(自主练透)[题组集训]1．若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y等于()A．－1B．－3C．0D．2解析：B[由k＝－3－2y－12－4＝tan3π4＝－1.得－4－2y＝2，∴y＝－3.]2．如果直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0≤α≤πB．0≤α≤π4或π2απC．0≤α≤π4D.π4≤απ2或π2απ解析：B[由题意可知，直线l的斜率k＝m2－11－2＝1－m2≤1.又直线l的倾斜角为α，则有tanα≤1，即tanα0或0≤tanα≤1，所以π2απ或0≤α≤π4.故选B.]3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________.解析：如图，∵kAP＝1－02－1＝1,kBP＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)1．在解决斜率或倾斜角的取值范围问题时，应先考虑斜率是否存在或倾斜角是否为π2这一特殊情形．2．求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tanα的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．考点二直线的方程(师生共研)[典例](1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程；[解析](1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×13＝－43.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．[解析]当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.求直线方程的常用方法(1)直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．提醒：求直线方程时，要注意直线的斜率不存在的情况或斜率为零的情况．在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑，斜率不存在的情况．[跟踪训练]根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0απ)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.考点三直线方程的综合利用(多维探究)[命题角度1]与基本不等式相结合的最值问题1．直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，求：(1)当|OA|＋|OB|最小时，直线l的方程；(2)当|PA|·|PB|最小时，直线l的方程．解：(1)依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k＜0)．令y＝0，可得A1－4k，0；令x＝0，可得B(0,4－k)．|OA|＋|OB|＝1－4k＋(4－k)＝5－k＋4k＝5＋－k＋4－k≥5＋4＝9.∴当且仅当－k＝4－k且k＜0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．这时l的方程为2x＋y－6＝0.(2)|PA|·|PB|＝4k2＋16·1＋k2＝－4k(1＋k2)＝41－k＋－k≥8(k＜0)．∴当且仅当1－k＝－k且k＜0，即k＝－1时，|PA|·|PB|取最小值．这时l的方程为x＋y－5＝0.先求出斜率或设出直线方程，准确地求出相关数据，列出不等式，并正确的利用不等关系，特别注意要做到：“一正、二定、三相等”．[跟踪训练]已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，当△ABO的面积取最小值时，求直线l的方程．解：法一：设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为xa＋yb＝1.因为l过点P(3,2)，所以3a＋2b＝1.因为1＝3a＋2b≥26ab，整理得ab≥24，所以S△ABO＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b，即a＝6，b＝4时取等号．此时直线l的方向是x6＋y4＝1，即2x＋3y－12＝0.法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0，可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，则A3－2k，0，B(0,2－3k)，S△ABO＝12(2－3k)3－2k＝1212＋－19k＋4－k≥1212＋2－9k·4－k＝12×(12＋12)＝12，当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23时，等号成立．所以所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.[命题角度2]与导数几何意义相结合的问题2．已知曲线y＝1ex＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________.解析：y′＝－exex＋12＝－1ex＋1ex＋2，因为ex0，所以ex＋1ex≥2ex·1ex＝2当且仅当ex＝1ex，即x＝0时取等号，所以ex＋1ex＋2≥4，故y′＝－1ex＋1ex＋2≥－14(当且仅当x＝0时取等号)．所以当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为0，12，切线的方程为y－12＝－14(x－0)，即x＋4y－2＝0.该切线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝12×2×12＝12.答案：12与直线有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y.(2)将问题转化成关于x(或y)的函数．(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．[跟踪训练](2019·兰州市模拟)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a＝________.解析：由题意知，直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋154，当a＝12时，面积最小．答案：12