2020届新高考数学艺考生总复习 第六章 立体几何 第6节 空间直角坐标系、空间向量及其运算课件

高考总复习艺考生山东版数学第6节空间直角坐标系、空间向量及其运算第六章立体几何最新考纲核心素养考情聚焦1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．1.空间向量的线性运算，达成直观想象和数学建模的素养．2020年高考预计考查：1.空间向量的线性运算.2.向量共线、共面的条件.3.空间向量的模、夹角及数量积的应用.4.在解答题中用到空间向量的基本运算，2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直2.共线、共面向量定理及应用，增强直观想象、逻辑推理的素养．3.空间向量的数量积及应用，提升数学运算、逻辑推理和数学建模的素养求空间角及距离．要求熟记公式正确运用．题型多与解答题结合出题，间或有选择题、填空题，难度一般不会太大，属中低档题型1．空间直角坐标系(1)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系(如图所示)．(2)点的坐标表示在空间直角坐标系中，任何一个点的坐标都可以用三个实数组成的有序实数组表示，这三个实数分别是点在x轴、y轴、z轴上的坐标．(3)空间两点间距离设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)为空间两点，则P1，P2两点间的距离|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.特殊情况，点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.2．对于空间向量的有关概念，请填写下表名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量3.空间向量的线性运算及运算律(1)线性运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB→＝OA→＋AB→＝a＋b；BA→＝OA→－OB→＝a－b；OP→＝λa(λ∈R)．(2)运算律：a.加法交换律：a＋b＝b＋a；b．加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；c．数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.4．关于空间向量的有关定理定理语言描述共线向量定理对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a＝λb共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc5.空间两向量的夹角及取值范围已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]．特别，若〈a，b〉＝π2，则称a与b垂直，记作a⊥b.6．空间两向量的数量积及运算律(1)空间向量数量积定义：已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.7．对于空间向量的坐标运算，请完成下表a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3数乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)a∥b(b≠0)⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3共线a∥b⇔a1b1＝a2b2＝a3b3垂直a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夹角公式cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b231.中点坐标公式：设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22.2．点共线和点共面问题(1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A、B、C三个点共线，即证明AB→与AC→共线．(2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明PA→＝xPB→＋yPC→，或对空间任一点O，有OA→＝OP→＋xPB→＋yPC→，或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)即可．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.()(2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．()(3)空间中任意两非零向量a，b共面．()(4)对于任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.()(5)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．()(6)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×(6)×[小题查验]1．有下列命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；③若MP→＝xMA→＋yMB→，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则MP→＝xMA→＋yMB→.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：B[其中①③为正确命题．故选B.]2．已知a＝(2，－1，－3)，b＝(1，－2，－1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2B．－143C.145D．2解析：D[由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选D.]3．(2019·舟山市模拟)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB→，AD→，AA1→两两的夹角均为60°，且|AB→|＝1，|AD→|＝2，|AA1→|＝3，则|AC1→|等于()A．5B．6C．4D．8解析：A[设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则AC1→＝a＋b＋c，|AC1→|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝25，因此|AC1→|＝5.]4．[人教A版教材P98T3改编]正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________.解析：|EF→|2＝EF→2＝(EC→＋CD→＋DF→)2＝EC→2＋CD→2＋DF→2＋2(EC→·CD→＋EC→·DF→＋CD→·DF→)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|EF→|＝2，∴EF的长为2.答案：25．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则AB→与CA→的夹角θ的大小是________.解析：由题意知AB→＝(－2，－1,3)，CA→＝(－1,3，－2)，故cosθ＝AB→·CA→|AB→||CA→|＝－714＝－12.因为θ∈[0，π]，所以θ＝23π.答案：23π考点一空间向量的线性运算(自主练透)[题组集训]1．已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，BC的中点，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，用a，b，c表示向量MN→＝________________.解析：如图所示，MN→＝12(MB→＋MC→)＝12[(OB→－OM→)＋(OC→－OM→)]＝12(OB→＋OC→－2OM→)＝12(OB→＋OC→－OA→)＝12(b＋c－a)．答案：12(b＋c－a)2．(2019·南昌市调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，现用基底{OA→，OB→，OC→}表示向量OG→，有OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x，y，z的值分别为________.解析：如图，∵OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23(ON→－OM→)＝12OA→＋2312OB→＋OC→－12OA→＝16OA→＋13OB→＋13OC→，∴x＝16，y＝13，z＝13.答案：16，13，133．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简A1O→－12AB→－12AD→＝________.(2)用AB→，AD→，AA1→表示OC1→，则OC1→＝____________.解析：(1)A1O→－12AB→－12AD→＝(A1A→＋AO→)－12AB→－12AD→＝－AA1→＋12(AB→＋AD→)－12AB→－12AD→＝－AA1→＝A1A→.(2)解法1：OC1→＝OC→＋CC1→＝12AC→＋CC1→＝12(AB→＋AD→)＋AA1→＝12AB→＋12AD→＋AA1→.解法2：OC1→＝CC1→－CO→＝CC1→－12CA→＝CC1→＋12AC→＝AA1→＋12(AB→＋AD→)＝12AB→＋12AD→＋AA1→.答案：(1)A1A→(2)12AB→＋12AD→＋AA1→用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．考点二共线、共面向量定理及应用(师生共研)[典例]如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→(0≤k≤1)．(1)向量MN→是否与向量AB→，AA1→共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？[解析](1)∵AM→＝kAC1→，BN→＝kBC→，∴MN→＝MA→＋AB→＋BN→＝kC1A→＋AB→＋kBC→＝k(C1A→＋BC→)＋AB→＝k(C1A→＋B1C1→)＋AB→＝kB1A→＋AB→＝AB→－kAB1→＝AB→－k(AA1→＋AB→)＝(1－k)AB→－kAA1→，∴由共面向量定理知向量MN→与向量AB→，AA1→共面．(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内．当0k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知MN→与AB→，AA1→共面，所以MN∥平面ABB1A1.空间共线向量定理、共面向量定理的应用三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA→＝λPB→MP→＝xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→[跟踪训练]如图所示，已知ABCD是平行四边形，P点是平面ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面．(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．解：(1)证明：分别连接PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R点．因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心．所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有：PE→＝23PM→，PF→＝23PN→，PG→＝23PQ→，PH→＝23PR→.因为四边形MNQR是平行四边形，所以MQ→＝MN→＋MR→＝32(EF→＋EH→)．又MQ→＝PQ→－PM→＝32EG→，所以32EG→＝32(EF→＋EH→)，即EG→＝EF→＋EH→，由共面向量定理知E、F、G、H四点共面．(2)由(1)得MQ→＝32EG→，所以MQ→∥EG→.又因为